基于新交叉熵的灰关联双向投影多属性决策方法

尹圆圆，江登英,2

（1.武汉理工大学理学院，武汉 430070；2.华北电力大学数理学院，北京 102206）

0 引言

决策问题通常涉及多个目标和多个变量，因此，决策者在处理问题时通常会用多个值来表达观点，而不仅仅是一个确定的值，表现出一定的犹豫性。因此，西班牙学者Torra 提出了犹豫模糊集（hesitation fuzzy set，HFS）[1]的概念，指出一个元素属于一个集合的隶属度可以是几个不同的值。随后，Xu和Xia（2011）[2,3]给出了HFS的数学表达形式，提出了犹豫模糊数（hesitation fuzzy number，HFN）的概念，并给出了犹豫模糊距离及相似度的测度方法，为HFN在多属性决策领域的应用奠定了坚实的理论基础。

在犹豫模糊多属性决策问题中，学者们常常用熵测度来确定属性权重，其中的交叉熵测度主要是测量两个集合之间的差异程度。文献[4]提出直觉模糊条件下的交叉熵和直觉模糊熵的公式，并将其应用于群决策。文献[5—8]提出熵、交叉熵、距离测度及相似度测度之间的联系和公理化定义，并将其应用到区间模糊集环境中。文献[9]将模糊集（fuzzy set，FS）的熵、交叉熵推广到了HFS 并提出了HFS的交叉熵测度和熵的公理化定义。文献[10]定义了一个新的交叉熵公式，并将其与其他距离公式进行对比分析，验证了该交叉熵具有更高的区分度。

灰关联投影法将灰关联分析与投影法有机结合，能够全面分析所有属性之间的关联，是一种有效的多属性决策方法[11,12]。学者们将其拓展到FS、D 数集、直觉FS、中智FS、区间对偶HFS等。之后又有学者提出将灰关联与双向投影法相结合，既能讨论全部属性之间的关联性，又能避免单方面投影的偏差。目前该方法主要被应用于毕达哥拉斯HFS[13]、Trapezoidal Type-2直觉模糊集[14]、犹豫直觉模糊语言集[15]等环境中，但较少有文献在一般HFS中讨论其用法。因此，本文将灰关联双向投影法拓展到一般HFS中解决多属性决策问题。首先，根据熵的公理化定义新的交叉熵公式，并将其作为距离测度。然后，将毕达哥拉斯HFS的灰关联双向投影法推广到一般HFS上，扩大灰关联双向投影法在HFS上的适用范围，提出一种基于新交叉熵的灰关联双向投影多属性决策方法，解决属性权重未知的犹豫模糊多属性决策问题。最后，通过一个算例验证了所提方法的合理性和有效性。

1 预备知识

1.1 犹豫模糊集

定义1[9]：设X是给定的非空集合，定义在集合X上的HFSH是X→[0 ,1] 上的一个子集的映射函数。为便于理解，Xu与Xia（2011）[2,3]给出了HFS的数学形式：

其中，hH(x)是区间[0 ，1] 上若干个不同的数值的集合，表示x∈X属于HFSH的几种可能的程度，它是HFS的基本元素，称为HFN，简记为h，可更详细地表示为：

其中，#h代表HFNh中元素的个数。特别地，当#h=1时，HFS就退化为FS，不再对x∈X属于HFSH的可能性存在犹豫。即HFS 是FS 的扩展，其扩展的部分就是对于x∈X属于HFSH的可能性由一个确定的数值变为若干个数值，FS 是HFS 的一种特殊形式，称为单值HFS。由于各个HFN中元素个数可能不一样，且元素排序紊乱，因此为方便运算与比较，需要对HFN进行规范化处理[3]。

1.2 交叉熵

为度量不同HFS之间的关系，文献[9]引入交叉熵的概念，并给出交叉熵的公理化定义，如定理1所示。

定理1[9]：设∀α、β为HFN，则他们的交叉熵C(α，β)满足以下两个公理化条件：

（1）C(α，β)≥0；

（2）C(α，β)=0 ⇔α=β。

基于定理1 的两个公理化条件，文献[10]构造了新的交叉熵公式，如定义2所示。

定义2[10]：设hH1、hH2是HFSH1、H2的HFN，∀xi∈X，X={x1，x2，…，xn} ，则有：

式（3）为HFNhH1和hH2的交叉熵，记为C1(hH1(xi)，hH2(xi)),其中l=#h，i=1，2，…，n,j=1，2，…，l。

2 犹豫模糊环境下基于新交叉熵的灰关联双向投影决策方法

2.1 新的交叉熵公式

对于定义2，通过分析发现，该交叉熵仅在自变量范围很小时满足熵的公理化定义，这与熵的公理化条件（2）的范围不符。具体证明过程如下：

式（3）满足公理化条件（1），其详细证明过程参见文献[10]，此处不再赘述。对于公理化条件（2），在证明（1）的过程中，有Jensen不等式成立：

设f(x)=xp时，有：

当且仅当x1=x2=x3=x4时，式（5）成立。

例1：设三个模糊集h1={0.3，0.4，0.8}、h2={0.4，0.5，0.6}、h3={0.4，0.4，0.6}，利用式（3）分别计算可得：C1(h1，h1)=0.4，C1(h2，h2)=0，C1(h3，h3) =0.0667，不难发现只有C1(h2，h2)为零，即，且时公式（3）并不满足定理1的公理化条件（2）：C(α，β)=0 ⇔α=β。

由上面的证明过程可知，定义2的交叉熵不满足熵的公理化定义，但其为距离测度时具有较高的区分度[10]。因此，在满足定理1 公理化定义的前提下，本文提出了一种新的交叉熵公式，使其不仅具有分辨能力强的优点，而且还能避免HFN 交叉熵取零的范围缩小的问题，具体如定义3所示。

定义3：设hH1、hH2是HFSH1、H2的HFN，∀xi∈X，X={x1，x2，…，xn} ，则有：

式（6）为HFNhH1和hH2的交叉熵，记为C2(hH1(xi)，hH2(xi)),其中p＞1，l=#h，i=1，2，…，n，j=1，2，…，l。

可以证明，该交叉熵公式满足定理1 熵的公理化定义，即定理2。

定理2：定义3 中的交叉熵C2(hH1(xi)，hH2(xi))满足以下条件：

（1）C2(hH1(xi)，hH2(xi))≥0；

（2）C2(hH1(xi)，hH2(xi))=0 ⇔hH1(xi)=hH2(xi)；

（3）C2(hH1(xi)，hH2(xi))=C2(hH2(xi)，hH1(xi))。

证明：（1）为证明C2(hH1(xi)，hH2(xi))≥0，根据式（6）的结构，设定函数，限定p＞1，接下来讨论f(x，y)在x、y≥0 时的取值范围。

函数f(x，y) 分别对x，y求偏导，并令偏导等于零：

由x、y＞0 时，求得函数f(x，y)的Hessian Matrix 值大于0，得函数f(x，y)在x=y时取极小值，又因为x=y时f(x，y)=0 ，且f( 0，0 )=0 ，所以在x、y≥0 ，f(x，y)≥0，当且仅当x=y时，等号成立。

（2）由（1）的证明过程可知，要使C2(hH1(xi)，hH2(xi))=0，当且仅当，即时满足公理化条件（2）。

（3）由定义3中的式（6）可知，此条件显然成立。

为更好地验证新交叉熵公式的有效性与合理性，下面用例1 的HFN 验证定义3 中新交叉熵公式的适用范围。

例2：对于模糊集h1={0.3，0.4，0.8}、h2={0.4，0.5，0.6}、h3={0.4，0.4，0.6}，利用式（6）分别计算可得C2(h1，h1)=0，C2(h2，h2)=0，C2(h3，h3) =0，显然这说明定义3 满足定理1的公理化条件（2）：C(α，β)=0 ⇔α=β。

由定理2的证明过程发现，新的交叉熵公式符合距离的条件，因此可以把交叉熵C2(hH1(xi)，hH2(xi))作为距离。若C2(hH1(xi)，hH2(xi))的值越大，则hH1(xi)和hH2(xi)的差别越大，反之表示更为接近。

文献[10]将定义2的交叉熵公式与文献[3]中的各种距离公式进行比较，发现利用定义2的交叉熵公式计算距离较近的HFN具有更高的区分度。通过计算更为接近的几个HFN，下面进一步比较分析定义3中新交叉熵公式与定义2中公式之间的差别。

例3：设方案集X={x1，x2} ，在非空集合X上的HFSH1、H2、H3为：

利用定义2和定义3分别计算不同参数下的交叉熵距离，具体结果分别如表1和表2所示。

表2 不同参数下新的C2 交叉熵距离

由于H1与H2之间有2 个数相差0.1，H1与H3之间有3 个数相差0.1，H2与H3之间有1 个数相差0.1，因此C(H1，H3)的值应最大而C(H2，H3) 的值应最小。但从表1的结果可知，C1(H1，H2)的取值均最大，这与推测不符，而表2 中新交叉熵的计算结果与推测相符。这表明用新交叉熵表示距离来辨别两个较为接近的HFN 效果更好，能分辨出细小的差别，灵敏性更高，因此本文对交叉熵公式的定义是合理的。

2.2 基于新交叉熵的属性权重确定方法

在多属性决策中，属性权重的确定至关重要，常用方法主要有主观赋权法和客观赋权法，这里选取客观赋权法。根据2.1节的分析，用新交叉熵表示不同HFN之间的偏差，应用离差最大化方法[16]来确定属性的权重，即对所有方案中偏差越大的属性赋予越大的权重。用犹豫模糊交叉熵距离测度来度量方案xi在属性aj∈A下与其他所有方案的偏差：

其中，方案xi在属性aj∈A下的属性值aj(xi)简记为hij，dE(hij，hkj)=C2(hij，hkj) (i，k=1，2，…，n；j=1，2，…，m)为HFNhij与hkj之间的交叉熵距离。

方案在属性aj∈A下与其他所有方案的总偏差是：

基于离差最大化方法，权重w=(w1，w2，…，wm)的选择应该使总偏差Dj(w)最大，由此构建优化模型如下：

为求解上述模型，构造Lagrange函数：

其中，η表示Lagrange函数中的乘子变量。

对L(w，η)分别求wj、η的偏导，并令偏导为零，得：

求解式（11）可得：

由此可知，在属性aj下各方案间的总偏差越大，该属性的权重就越大，反之该属性的权重就越小。

2.3 基于新交叉熵的灰关联双向投影法

文献[13]讨论了毕达哥拉斯模糊集与HFS结合的毕达哥拉斯HFS 灰关联双向投影法。为扩大灰关联双向投影法在HFS上的适用范围，在此基础上提出一般犹豫模糊环境下基于新交叉熵的灰关联双向投影法。

（1）基于新交叉熵的灰关联系数

各方案与正负理想解的灰关联系数为：

其中，表示方案xi在属性aj方面与正理想解x+之间的距离，表示方案xi在属性aj方面与负理想解x-之间的距离，

建立灰关联系数矩阵：

由此可知关联系数矩阵中正理想解与正理想解的关联系数、负理想解与负理想解的关联系数如下：

为反映不同属性的不同重要程度，对关联系数加上权重，构成加权灰关联系数，则加权灰关联系数矩阵为：

计算加权关联系数的正理想解和负理想解：

（2）基于新交叉熵的灰关联双向投影值

对于备选方案xi，越大，则xi离正理想点就越近；越小，则xi越接近负理想点。为全面集结灰关联双向投影值选出最优方案，构造相对贴近度如下：

可见，Ci越大则xi越优，Ci越小则xi越劣。

犹豫模糊灰关联投影法实质上是一种单向投影，当两个向量在正负理想解上投影值相同时，该方法无法区分两个方案的好坏。而本文提出的灰关联双向投影法可计算在另一方向上的投影值，双向投影结合分析会使信息更为全面，并且基于新交叉熵作为距离测度的灰关联双向投影法具有更高的区分度。

2.4 基于新交叉熵的灰关联双向投影决策步骤

对一般HFS 多属性决策问题，设方案集X={x1，x2，…，xn}，属性集A={a1，a2，…，am} ，基于新交叉熵为距离应用于离差最大化法求得属性权重为属性值aj(xi)简记为hij（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），决策者按所有方案的属性进行评价得犹豫模糊决策矩阵D=(hij)n×m，按上述分析得灰关联双向投影决策方法的具体步骤如下。

步骤1：根据1.1节方法对D=(hij)n×m规范化处理，得规范化犹豫模糊决策矩阵；

步骤2：对规范化决策矩阵，基于2.2节提出的以新交叉熵为距离的离差最大化方法，按式（12）求得属性权重w*；

步骤3：根据文献[17]的方法，确定犹豫模糊正理想解x+和负理想解x-；

步骤4：根据式（6）分别计算方案xi与x+、x-的交叉熵距离D+、D-；

步骤5：根据式（13）和式（14）分别计算各备选方案与犹豫模糊正、负理想解的灰关联系数r+、r-，并令λ=0.5，通过式（16）和式（17）求出正理想解与正理想解的关联系数、负理想解与负理想解的关联系数；

步骤6 ：根据式（18）求出加权灰关联系数矩阵R+、R-，由式（19）和式（20）求出加权灰关联系数的正、负理想解；

步骤8 ：根据式（23）求出各备选方案的相对贴近度Ci，并据此对各方案进行排序。

3 实例分析

3.1 算例应用

为验证本文提出的上述决策方法的可行性与有效性，下面通过文献[17]中的能源问题进行实证分析。假设政府部门要从备选的5个方案中选出最为合适的方案，一组专家（决策组织）被邀请来对这5个方案进行评价，假设该决策组织用HFN 表示对各方案的评价，犹豫模糊决策矩阵具体见文献[17]。利用2.4 节所提灰关联双向投影决策方法的步骤1至步骤8选择最优方案。

步骤1：对犹豫模糊矩阵进行规范化处理，为使风险最小，扩充原则采用风险规避型，由于所有的属性均为效益型属性，故可得规范化的犹豫模糊矩阵。新交叉熵利用离差最大化方法(p=2) ，根据式（12）求得属性权重为w*=(0.2075，0.2286，0.4090，0.1549) ；根据式（21）和式（22）求出灰关联双向投影值，如表3所示。

表3 灰关联双向投影值

由此，得各备选方案的相对贴近度大小顺序为C5＞C3＞C2＞C4＞C1，故最优方案是x5。

3.2 算例结果的对比分析

为进一步验证本文方法的有效性与合理性，下面将本文结果与灰关联投影法结果进行对比分析，两种方法所得相对贴近度，如表4所示。

表4 相对贴近度

由表4 可知，这两种方法所得最优方案都是x5，但相对贴近度排序结果不完全一致，其中，通过灰关联投影法所得排序结果为C5＞C3＞C2＞C1＞C4，其差别主要在于方案x1和x4的相对贴近度排序不同。为分析其原因，列出灰关联投影法的投影值，如表5所示。

表5 灰关联投影值

根据表3 和表5 可知，导致表4 相对贴近度排序不同的原因是方案x1、x4单向正投影值排序与双向正投影值排序相反。由文献[18]可知，双向投影较单向投影具更高可信度，故相较于灰关联投影法，灰关联双向投影法更为可信。而HFS 中的灰关联投影法只考虑了单方向上的投影，但本文所提HFS中的灰关联双向投影法却能够全面分析属性间的关系，反映整个属性空间的影响，相较于单向投影法考虑得更为全面，避免了单方面的偏差，故所得决策结果更为合理有效。

3.3 灵敏度分析

为讨论本文所提方法的灵敏度，分别计算出在不同参数下基于不同交叉熵为距离时的灰关联双向投影法结果，如表6至表8所示。

表6 基于新交叉熵的灰关联双向投影法结果

由此可见，表7 中各方案的相对贴近度值区分度较小，而表6和表8中相应区分度较大，即本文所提基于新交叉熵的决策方法具有较好的区分度。同时，比较表6至表8 不难发现，参数p的取值均会影响方案排序，当p=2，3，6，10 时，表6中最优方案为x5；当p=20 时，最优方案为x1，但表8中最优方案始终都是x5。然而，随着参数p的增大，方案x1的相对贴近度都呈逐渐增大趋势，因此表6方法对x1的变化更灵敏。这表明相较于上述两种方法，本文所提基于新交叉熵的决策方法具有更高灵敏度。

表7 基于定义2交叉熵的灰关联双向投影法结果

表8 基于文献[9]交叉熵的灰关联双向投影法结果

4 结束语

本文对属性值为犹豫模糊形式的多属性决策问题进行研究，提出了新的交叉熵公式，并以其为距离测度，应用离差最大化方法求得属性权重，并将灰关联双向投影法推广到一般犹豫模糊决策中。对比已有的交叉熵公式，新的交叉熵解决了数值差异较小带来的问题，提高了两个相近的HFS之间的区分度；此外，基于新交叉熵的灰关联双向投影法通过理论证明和实证分析表明，该方法具有较高的区分度和灵敏度，且扩大了灰关联双向投影法在HFS上的适用范围，提高了决策的可信度。