数学教育的国际比较研究——ICME-13的第一个大会报告及其对我国小学数学教学的启示

◇江春莲 刘付茵

数学教育的国际比较研究
——ICME-13的第一个大会报告及其对我国小学数学教学的启示

◇江春莲 刘付茵

ICME-13的第一个大会报告是90分钟的团队报告，报告的主题为“数学教育的国际比较研究：提升学生数学学习的经验”，由美国特拉华大学的蔡金法教授领衔，其他成员有澳大利亚墨尔本大学的凯·斯泰西(Kaye Stacey)教授、中国香港大学的莫雅慈(Ida A.C.Mok)教授和南非人类科学研究会的维杰·瑞迪(Vijay Reddy)，他们四人每人作了约17分钟的报告。本文介绍该报告的主要内容，并结合我国中小学数学课程与教学实际情况作些反思。

一、国际比较研究的意义

蔡金法教授首先强调了国际比较研究的重要意义，其意义主要体现在如下三点：（1）可以比较不同学校的制度、传统和文化，而这可能难以在一个单一的制度、文化下进行；（2）通过与其他国家的比较和对自身经验的反思帮助我们明晰应采取的态度和立场，这一点尤为重要；（3）可以让我们接触不同的数学教学方法和提高数学学习效果的方法。接下来，四人各自分享了从自己参与的国际比较项目中得到的经验。

二、考查学生数学学习的倾向和经验

凯·斯泰西教授试图以2012年的PISA（国际学生评估项目的简称）数据刻画PISA测试的能力与学生学习经验之间的关系，并试图解释学生学习经验对其数学自我概念的影响。

要解决PISA的来自现实世界的问题，学生需要经历的三个阶段及其对应的能力为：（1）转化能力，即将实际问题转化为数学问题的能力；（2）应用能力，即应用所学的数学知识和方法解决数学问题的能力；（3）诠释能力，即结合现实问题情境诠释得到的数学结果的能力。她比较了日本、荷兰和英国三个国家的学生在这三个方面的表现，发现：在转化能力方面，日本学生明显高于荷兰和英国的学生；在应用能力方面，三个国家的学生均低于国际平均水平；在诠释能力方面，日本学生则明显地低于其他两国的学生。总体来看，日本和荷兰学生的数学素养水平较高，英国较低。为解释学生的表现出现差异的原因，PISA调查了学生在各种不同类型问题上的学习经验，如接触形式化的数学（如解方程、因式分解等）和应用型问题、文字题等的机会，这方面的数据显示：荷兰学生较少接触形式化的数学，而较多接触应用型问题；日本则相反，学生较多接触形式化的数学，而较少接触应用型问题；英国则在两方面处于国际平均水平。综合OECD（经济合作与发展组织）国家和其他国家的数据，可以发现：学生接触形式化数学的机会与他们的数学素养表现呈强正相关；在应用型问题上，学生对此类题型的接触程度和成绩则显现二次关系，也就是说，在开始时学生接触应用问题的机会越多，在PISA中的表现就越好，但到某个点后，呈现的趋势则是接触应用问题的机会越多，在PISA中的表现就越差。所以学校数学课程在应用型问题和形式化的数学学习两方面需要保持一定的平衡。

学生在学校接触这两种问题的机会直接影响到他们解决这类问题的自信心，换句话说，接触机会越多，自信度越高，而且学生对解决形式化的数学问题的自信度高于解决应用型问题的自信度。

三、理解学生的思考方式

蔡金法教授的报告主题是“理解学生的思考方式”，他从新的角度重新分析了其于1995年发表在《数学教育研究杂志》（Journal for Research in Mathematics Education）特刊上的中美学生比较的数据。其中有两个是平均数问题，如下所示。

问题1：在俱乐部的食物募捐活动中，塔刹获捐11罐，大卫获捐6罐，杰弗里获捐5罐，德韦恩获捐2罐。四人平均获捐多少罐？解释你是如何得到答案的。

问题2：安杰拉为数学俱乐部卖帽子，第一周卖了9顶，第二周卖了3顶，第三周卖了6顶。如果这四周卖的帽子的顶数平均数为7，那么安杰拉在第四周卖了多少顶帽子？展示你得到答案的过程。

比较中美学生解答这两个问题的正确率，我们发现：大部分学生能正确解答问题1；中国和美国学生正确解答两个问题的百分比分别为67%和42%；中国和美国学生答对问题1而答错问题2的百分比几乎相同，分别为23%和24%。如果说问题1是检验学生是否了解平均数的算法，而问题2是检验学生是否对平均数达成概念性理解的话，我们发现中美两国均有约四分之一的学生对平均数没有形成概念性理解。

蔡教授还举了另外一个问题，如下所示。

将2个比萨平均分给7个女生，1个比萨平均分给3个男生。男生和女生得到的比萨数量相同吗？谁得到的更多？

在这个问题上，高达90%的中国学生先用分数表示男生和女生各自得到的比萨大小，然后比较两个分数的大小，但是很少有美国学生这么做。相反的，美国学生用多种不同的方法进行比较，如将1个比萨分给3个女生，将剩下的1个比萨分给其余4个女生，前面3个女生分得的和男生一样多，但其余4个女生分得的却比男生少，所以男生得到的比萨更多。从中可以看出美国学生思维的多样性和灵活性，尽管在这里可能破坏了“平均”的规则，但其推理是有力的。

蔡金法教授通过以上例子说明，通过分析学生的解答，我们能够更深入地了解学生的思考方式。

四、改变课堂教学

莫雅慈教授报告的主题是“改变课堂教学”。她先介绍了TIMSS（国际数学与科学评测趋势的简称）和LPS（学习者视角的简称）。前者比较了平均水平的教师在数学课堂结构方面的差异；后者与前者互为补充，比较了在不同文化背景下优秀数学教师的教学活动，并结合老师和学生的看法进行解释。TIMSS发现国家与国家之间，同一国家的不同教师之间，同一个教师在同一个单元不同阶段的课堂结构，都有很大的不同。LPS关注的是教学事件，发现不同国家都有自己的特点，如日本的课堂上教师常常引诱学生犯错，以引起他们的困惑，由学生提出不同的解答并给出解释，教师指出困难并给出解释，揭示思考的过程。LPS更深入地了解不同文化背景下教师教学活动的意义。莫教授对上海课堂的分析表明，中国的课堂表面上看起来是以教师为中心的，但教师教学活动的组织却是以学生为中心的，教师基于对学生的深入了解，给学生创造合适的课堂经验，以便学生沿着教师有目的设计的教案进行，少走弯路，这种视角给“中国学习者悖论”提供了一些解释。[中国学习者悖论，即似乎是在并不理想的学习环境（接受式教学）中，中国学生在国际学生能力水平测试中超过西方]

莫教授从上海的一节数学课引出她自己提出的课堂研究的一个视角。该课是关于“二元一次方程组”的，教师出示问题，如下所示。

小明全家去北京度假，他们需要买3张成人票和1张学生票，总价560元。后来小明的同学也要跟小明一家一起去，所以最后他们买了3张成人票和2张学生票，共640元。单张成人票和单张学生票的价格分别是多少元？

学生朵拉通过比较很快得出一张学生票80元，因为560元是3张成人票和1张学生票的总价，而640元是3张成人票和2张学生票的总价，差别只在于1张学生票。教师引导学生一起读题目，肯定了朵拉的解答，接着教师引导学生将题目给定的条件转化成方程，即3x+y= 560和3x+2y=640（其中x是成人票的价格，y是学生票的价格），进而结合学生的解法讨论一般的二元一次方程组的解法。

这堂课给学生设计了三个层次的比较活动：一是学生自然的想法和教师的复述；二是解决该问题的算术方法和方程方法；三是二元一次方程组的两种消元方法，即加减消元法和代入消元法。这里的比较可以帮助学生看到这些知识之间的联系。由此，我们可以看出：上海的数学教师很注重学生的原始解法和数学标准解法之间、数学知识之间等的关联，这也是国际测试中学生表现优异的国家与美国在课堂教学问题处理上的一个重大差别。所以莫教授提出，对课堂的研究，可以关注教师是如何处理数学问题的，是“使用过程”式还是“建立关联”式。前者强调学生使用标准的数学算法解决问题，后者强调数学思想、事实和过程之间的关联，强调数学推理。教师使用其中的哪种方式也反映在整节课问题的设计和安排上。比如，前面提到的上海教师，在课堂上不仅对同一个问题的解答采用层层递进的方法，在整节课上，从一个问题到下一个问题，从复杂程度来说，也是层层递进的。而在美国的课堂上，即便教材设计的问题是层层递进的，不少教师也常常把这些问题处理成简单的使用同一过程的问题，从而降低问题的认知难度。

莫教授最后总结说，教学是一种文化现象，尽管不同国家的教师教授相同的课程，但他们可能会赋予这些活动不同的意义和效果。

五、关注全球，立足本土

维杰·瑞迪教授报告的主题是“使全球合作研究对本土有意义：南非参与TIMSS研究的经验”。她以南非为例说明如何结合国际研究的成果，改进本国的教育。南非自1995年参加TIMSS系列研究，20年来在数学教育方面取得了不小的进步。1994年以前，南非不同种族之间的教育相互隔离且发展不均衡，特别是那些土地贫瘠、偏远、贫穷的地方，教育质量低，工作技术含量低，发展受限，对教育也不重视。现今民主政府设立了教育部统一管理教育相关事宜，教育成为国家发展的首要任务，入学率有了很大的提高。但是优质教育仍然稀缺，贫穷、失业和不平等仍然广泛存在，数学评估为这些方面的不足提供了证据，特别反映了教育系统不健全、社会通道和收入的不平等，以及社会成功转型还存在的差距。因为南非学生在TIMSS测试中数学和科学方面的表现都非常差，所以公众对南非参加TIMSS有质疑，但南非通过使用TIMSS比较的结果发出自己的声音，对结果所作的进一步的延伸分析对于改进南非的教育具有重要意义。

她从三方面说明南非参与TIMSS研究的意义。（1）理解南非的教育成就，而不仅仅是排名。1995年至2011年的16年间，南非学生的数学成绩提高了63分，相当于1.5个年级水平；教育不公平也得到了改善，最高分和最低分之间的差距由354降到了287。（2）理解环境与个人因素对学生数学成绩的影响。家庭的社会经济地位、学校的社会经济地位、学校与家庭语言的一致性、年级与年龄的适应性、学校的安全性等因素对学生数学成绩的影响均呈正相关。也就是说，一般情况下，家境越优越，学生的数学表现越好，其他的类推。性别因素对南非学生数学成绩的影响微乎其微，女生成绩略高一点，这可能与学校的欺凌现象有关。南非的校内暴力现象比其他国家严重：家庭的社会经济地位低的学生时常被欺凌的机会较大；在同类学校中，男生更易被欺凌，女生则因时常有父母的陪伴而受到保护，因此男生的辍学率高于女生。（3）八、九年级学生的数学成绩直接影响随后几年的教育情况及学生能否顺利完成中学学业，直到高三毕业。这些研究给教育工作者提供了很重要的信息，教育受社会和家庭等因素的影响如此之深，学校要保证自己的教学质量，应当注意学生的到校状况、家庭情况以及注重学校纪律等。

蔡金法教授最后总结道，PISA和TIMSS这样的研究应当继续进行下去，希望参与者和其他研究人员能够结合各国的实际情况解读研究数据，通过国际间合作对不同国家的数学教育作比较研究，通过案例研究了解学生的思考方式，从而获取教学反思经验并改善自己的教学，提高学生的数学学习成就。

六、启示

这个团队的报告给我们的启示是：（1）大型的国际数学教育研究能让我们看到数学教育的一般规律，数学课程需要保持形式化和数学应用、建模等的相对平衡；（2）数学教学除了让学生熟练掌握基本的运算，还应注重概念性理解，与过程性的计算相比，概念性理解甚至更重要；（3）数学课堂教学是一种文化现象，我们需要从不同的视角对数学课堂进行深入研究，而不是被表面的现象所迷惑，特别是应深入分析华人数学课堂的特点，以便更好地解释“中国学习者悖论”；（4）我国要像南非一样通过参与TIMSS或PISA研究，发出我们自己的声音，并通过结果分析改进自己的教育教学。

（作者单位：澳门大学教育学院）