深度比较催发深度理解——以《认识百分数》为例

江苏南通市通州区金沙小学 张 英

深度比较催发深度理解
——以《认识百分数》为例

江苏南通市通州区金沙小学 张 英

学生思维能力和解决问题的能力都是建立在理解的基础上。所以“为理解而教”显得尤为重要。我们在课应利用各种方法为学生理解性学习提供助力，比较就是一种非常有效的方法。

小学数学 比较 深度理解

数学理解是学生在已有知识经验的基础上，通过观察、比较、分析、推理、概括等活动，对数学知识中的概念、原理、公式、法则等进行解释，主动建构意义，并在建构意义的过程中，通过同化或者顺应，将新知识纳入原有的认知结构的一种思维活动。学生思维能力和解决问题的能力都是建立在理解的基础上。所以“为理解而教”显得尤为重要。我们在课堂应利用各种方法为学生理解性学习提供助力，比较就是一种非常有效的方法。人们对数学知识概念、原理等的深刻认识，大多都是在比较中实现的。现就以苏州吴江教科研手拉手活动中听到的《认识百分数》为例，谈一谈我的想法。

一、深度比较，深化对百分数意义的理解

当学生的头脑中对新知的内涵与外延都有比较完整、清晰的认识，说明他们初步建立了概念。认识百分数也是如此，在帮助学生理解百分数意义的过程中，教师多次采用了比较的方法，对同类对象或者异类对象的异同点进行辨别，在层层递进的比较中帮助学生充分理解百分数的意义，深化了对百分数本质的理解。

1.比较中厘清百分数外延

仅凭一个例子来抽象出百分数的意义，是单薄无力的。而来自学生的鲜活例子往往又是同质、重复的。所以选择怎样的材料，教师是深思熟虑的。当学生利用旧有的分数知识解释氨纶10%、已下载65%、钙含量3%等的意义之后，教师出示手机屏幕截图，问学生看到百分数没有，它表示什么意思？因为有了先前的经验，学生明白这个21%是目前电量和总电量进行比较的结果，目前电量占总电量的。 教师问：“看到这个信息，我该干嘛了？”学生齐答充电。教师用课件出示电量的变化图，问学生目前电量大约是总电量的百分之几？从21%到50%，再到100%，当学生充分理解100%表示什么意思后，教师追问：“如果继续充电，目前电量可能超过100%吗？为什么？”学生认为不可能，把总电量看作单位1，再怎么充电都不可能超过单位1。教师说：“那你觉得生活中会不会有超过100%的分数？能举个例子吗？”学生不吱声。这时候教师出示线段图，连着问了三个问题：学生果园里有75棵桃树，100棵梨树，此时桃树的棵树是梨树的百分之几？根据市场需要果农们又栽了25棵桃树，现在桃树是梨树的百分之几？如果再栽10棵，桃树的棵树是梨树的百分之几？随着数据的变化百分数也在变化，从75%到100%再到110%。这里暗藏着比较，学生举的例子基本都是部分与整体关系两个数量之间的比较，而教师补充的例子就非常精心。手机充电情况，让学生理解了目前电量和未充电量的总和是100%，手机充电不会高于100%，而桃树和梨树的关系比较一下子冲破学生的视界，让学生的视线也变得越来越开阔：两种独立量之间的关系是可以超过100%的我们都知道，百分数的内涵是表示两个数量之间的倍比关系，而外延是这两个数量可以是 “部分与整体的关系”，也可以是“两个独立数量之间的关系”。在鲜活的例子的引领下，学生下意识有了比较，思维不断跨越，厘清了百分数的外延。

2.比较中明晰百分数内涵

在多个百分数的例子交流之后，教师指着板书：氨纶10%表示氨纶成份占衣服总成份的；脂肪3%表示脂肪含量占牛奶总量的目前电量100%表示目前电量占总电量的；110%表示桃树棵树占梨树棵树，问学生：“刚才我们交 流了这么多的百分数，它们表示的意义各不相同，但本质是一样，都表示什么？”学生回答都是一个量和另外一个量比较的结果，都是一个数是另一个数的百分之几。这段教学又是一次比较，通过适切的具有代表性的一组实例，引导学生类比发现它们的共同属性，从而抽象出百分数的意义。理解和掌握概念的过程就是在比较中明晰同类事物共同属性的过程。经过这段教学，百分数的意义浮出水面，但是学生对百分数内涵的理解并不完整。所以教师并不满足于此，追问学生有没有什么疑问。学生说：“为什么百分数会叫百分率或者百分比呢？”老师说：“是呀，为什么会叫百分率或者百分比呢？让我们从几个例子中体会”。然后教师出示近视率30%等例子，让学生填一填。引导学生从百分数意义角度去解释百分率的含义，引导学生将百分数和学过的比的知识进行比较。帮助学生体会近视率30%，既表示近视人数是小学生总数的,也可以表示近视人数与小学生总数的比是30:100。百分数既表示两个量之间的倍比关系，又表示为后项为100的比。在实例的引领下，学生通过比较分析不仅有效沟通了与比之间的联系，而且进一步加深了对百分数意义内涵的理解。不仅于此，教师还设计了一道练习题：①一根绳子减去，减去了米。②一吨煤吨，运走了它的。让学生辨一辨哪些分数可以改成百分数，引导学生把百分数置于整个认知系统中去理解。在选择的过程中，学生自动比较与分数的联系与区别，更是对百分数不能表示具体数量，只能表示两个量之间的一种关系有了特别深刻的理解，至此学生头脑中的百分数认识内涵更加饱满、外延更为清晰。这种理解不再是形式上的，而是触摸到本质的。定义也不再是形式化的定义，而是学生思维上的真理解。

二、深度比较，深化对百分数价值的理解

有了分数为什么又要学百分数？百分数在生活中是否得到广泛的使用？百分数的价值如何得到凸显？这些都是我们教学中经常思考的问题。在挖掘百分数作用和价值的教学中，教师又一次采用了比较的方法，在比较中学生脑洞大开、豁然开朗。教师出示三位队员的投篮情况统计表，问学生谁投得准一些。

三名队员投篮情况统计：

经过讨论和辨析，学生发现仅关注投中次数不行，关注失球次数也不合理，要比较谁投的准一定要比投中比率，也就是投中次数占投篮次数的几分之几。因为给出的数据比较特殊，所以学生自然而然将这些分数通分成分母是100的分数来比较。但是如果遇到一些一般数据呢？如果跟学生说为了便于统计和比较，我们通常把这些分数用分母100的分数来表示，学生能接受化成分母是100的分数再比较的方法吗？未必！所以，教师又做了第二层次的教学，又出示一组数据。

五名队员投篮情况统计：

在学生分别求出投中次数占投篮次数的几分之几后，教师问：“你们打算准备通分吗？”学生说太麻烦了，教师追问学生：“那怎么办呢？”学生说：“也可以用小数来比较。”教师追问：“对呀，化成小数也能比较出结果，但是——”一个但是，引发了学生思考，有学生站起来：“如果用小数比的话，就看不出投中次数占投篮次数的几分之几了。”教师表扬学生会思考，然后继续追问：“那有什么办法既能比出大小，又能看出投中次数占投篮次数的几分之几吗？”经过短暂的小组讨论，学生认为可以取这这些小数的近似值，转化成分母为100的分数比较大小。教师又问：“为什么分母非得是100，为什么不转化成分母为10或者1000的分数呢？”学生的思维又给激活了，经过讨论，学生感觉分母为100精确度比较合适。这时候教师将8位同学的投篮命中率用分母为100的分数展示出来。教师问学生有什么想说的，有学生说比起来非常方便，还有学生站起来说：“我发现有些分数，分子是小数。”教师相机说：“我们以前学的分数里没有这样的写法。所以，我们需要换一种书写的形式，我们一般写成百分数的形式。”现在感觉怎样？学生说非常简洁，比起来一目了然。让我们回顾这个过程，两组数据比较在里面起了决定性的作用，正是比较让学生思维起了冲突，通分嫌麻烦、小数比较不能看出两个数量之间的关系，从而逼出了将所有分数转化成分母是100的分数的需求。学生经历和体验了百分数的产生过程，便于统计和比较的特点深入学生内心，深切体会到百分数存在的价值。

乌申斯基认为，比较是一切理解和思维的基础。本节课，学生的认识经历了“比较——发现——理解”的过程。在对比中不断思考，思维清亮明澈。课堂充满着热烈的讨论、闪烁着思维的火花，不停迸发着细思妙想，对百分数的认识不仅有宽度更有深度！