初中数学反比例函数PCK内涵解析

樊荣花

摘 要：为了推进基础数学课程改革，课堂教学着眼于学科教学知识（PCK）提升的改革，以促进学生对数学的理解和数学价值的认识，对数学概念的PCK研究是有意义的。

关键词：变量；反比例函数；数学模型；抽象思维

函数在当今社会中应用广泛，在数学、计算机科学、IT等领域发挥着举足轻重的作用。义务教育第三学段在“数与代数”这部分对一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数进行了系统的学习。“PCK（Pedagogical Content Knowledge）”是学科知识在教学应用中的转换，是学科知识、教学法知识和情境知识间的整合和

转换。

一、反比例函数的内涵及教育价值

1.学科价值

北师大版九年级上册第六章第一节“反比例函数”，通过丰富的现实情境，借助表格、公式、数量关系抽象出反比例函数模型，通过分析每个问题中变量之间的关系建立函数模型，归纳出反比例函数的概念。一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y= （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的自变量不能为零。概念的形成需要学生再举出类似的例子，并将关系式写成y= 的形式，这样才能在学生的头脑中初步形成一个新的函数模型，而且也能体会定义中非零常数k及变量x，y允许取任意非零数值。这些丰富的现实原型就成为概念的某种直观解释或实际意义，通过举例、说理、讨论等活动进一步体验如何用数学的眼光来审视某些实际现象，思考其数学的意义。

2.教育价值

用函数模型分析问题和解决问题是初中学生应当具备的数学学科素养之一。反比例函数的学习有利于发展学生的符号意识，发展抽象思维，有助于数学函数模型的进一步完善。

（1）有利于发展学生的符号意识，发展抽象思维

设置的问题尽量贴近生活，让学生感受到亲切、自然，激发学生的学习兴趣，提高学生思考问题的积极主动性和解决问题的能力。这些生活背景便于学生发现问题，可以根据数量关系用符号表示，体会将实际问题抽象为数学函数模型，由此体会到：生活处处皆数学，生活处处有函数。

（2）有助于数学模型的进一步完善

在观察、思考、列式、比较中应用不同于一次函数的新函数模型表示两个变量之间的关系，并认识和发现反比例函数与一次函数的密切联系和不同之处，这样有助于学生函数模型的完善和数学思维的发展。

二、数学课程标准中反比例函数要求

《义务教育数学课程标准（2011年版）》對反比例函数的要求是：（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。“探索”就是独立或与他人合作参与特定的数学活动，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关的区别和联系。

（2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。“了解”就是初步认识反比例函数，知道这种函数与一次函数、正比例函数的区别。（3）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。（4）结合具体情景体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。

三、反比例函数与其他数学内容的联系

1.横向联系

七年级学习了“变量之间的关系”，知道了自变量和因变量，能从表格、表达式、图象中分析两个变量之间的关系。八年级学了“平面直角坐标系”“一次函数”和一次函数的特殊形式——“正比例函数”。九年级下册还要学习“二次函数”。

2.纵向联系

小学时知道按比例分配的含义，并能简单应用。认识成正比例的量和反比例的量。能找出生活中成正比例和反比例关系量的实例。初中是“数与代数”第三部分的中间内容，上承一次函数，下接二次函数。高中阶段学习指数函数、对数函数、三角函数等较复杂的函数，并对函数的定义域、值域、对应法则、单调性进行系统的学习。

四、学生学习反比例函数概念的经验基础和困难预测

1.学生的经验基础

对函数、正比例函数、一次函数的概念、图象与性质以及应用有所掌握，会用数学符号表示实际问题中的关系。具备了用函数模型表示两个变量之间的关系的意识和思路。

2.学生学习的困难预测

困难1：面对新的函数时，还可能存在一些思维障碍，如：学生不能准确地找出变量之间的自变量和因变量。特别是有关物理中的公式U=IR，当U一定时，I与R哪个是自变量，哪个是因变量。

困难2：反比例函数和正比例函数的区别。在表格中有两个变量，当两个变量的积一定时，成反比例函数关系；当两个变量的商一定时，成正比例函数关系。而学生认为因变量随自变量的增大而增大就是正比例函数关系，因变量随自变量的增大而减小就是反比例函数关系。

五、帮助学生学习反比例函数概念的教学策略

策略1：类比分析，认识反比例函数。将实际问题抽象出函数模型后用符号表示的五个表达式，y=20x，y=100-20x，y= ，t= ，a= ，观察比较它们的异同，分分类，仿照一次函数的表达式用符号表示出新函数——反比例函数。

策略2：举例说明，加深对反比例函数的关系式y= 的形式的掌握。在学生通过对比一次函数的表达式，归纳出反比例函数的表达式后，让学生同桌之间再举几例，提问另一个同学，互问互答几轮后再判断一些表达式哪个是反比例函数。

参考文献：

[1]谭军，陈君瑜.数学教师学科教学知识建构初探[N].宿州学院学报，2006（3）.

[2]王夕予.新数学教师学科教学知识之探讨[J].科教文汇（上旬刊），2011（9）.

[3]杨小丽.我国学者关于数学学科的PCK研究综述及对教师培训的启示[N].北京教育学院学报（自然科学版），2010（2）.

编辑 赵飞飞