基于数学学科核心素养的圆锥曲线教学思考

李丽莹

一 引言

圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，在高考试题中占据重要地位。尤其是近几年以圆锥曲线性质为背景的题目已经成为高考命题的热点内容之一，这部分知识点对学生的综合能力要求较高，对学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等数学学科素养也有一定的要求。大多数学生认为这类知识点是高中数学学习过程中的一个绊脚石，难在解题思路的寻找、解题方法的选取、数学工具的灵活运用等等，对于较复杂的综合性问题，学生往往不知从何下手。2018年1月，《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出数学学科核心素养，圆锥曲线作为高考必考考点，考察了多方面的数学学科核心素养，而圆锥曲线存在老师教学难，学生学习难的问题。由此可见，基于数学学科核心素养的圆锥曲线教 学研究对于提升学生的基本知识、基本技能、数学能力、数学学习态度与情感具有重要的现实意义，研究中主要围绕考、学、教三方面进行研究，以考点为教学导向，提出教学建议，让学生在新课教学与备考复习中做到有效学习。

二 简析圆锥曲线知识点

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对这部分的要求是：“了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆定义、标准方程及简单几何性质；了解抛物线和双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质；通过圆锥曲线和方程的学习，进一步体会数形结合的思想；了解椭圆、抛物线的简单应用。”[1]

通过分析、整理得出圆锥曲线这部分题型主要考查以下几类问题：①求曲线的方程问题。这类题型通常分为两种情况，一是当曲线类型已知时，通常运用题目已知的信息用待定系数法求曲线的方程；二是当曲线类型未知时求轨迹方程，通常借助圆锥曲线的定义求解。这类题型要求学生掌握圆锥曲线的定义及几何性质，学会利用数形结合的思想方法解决问题。②求定值、定点、最值及范围问题。由于这类题型的综合性较高，因此对于大多数学生而言难度较大。对于定值问题，通常先考虑特殊情况求出定值，再证明这个定值是与变量无关的，或者是直接通过推理计算，在推理和计算的过程中消去变量，从而得到定值；对于定点问题，通常先设出直线方程，再建立等量关系，进行消元，然后借助直线方程的特征找出定点；对于最值问题，通常运用两种方法：一是几何法，通过已知条件借助几何特征解决问题；二是代数法，通常先建立目标函数，再用函数的性质求其最值，例如：配方法法、判别式法、基本不等式法或单调性法等求函数的最值；对于参数的取值范围问题，通常是根据已知条件建立函数或不等式，再求参数的范围。③存在性问题，这类题型通常是考查直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题。可先假设存在满足题意的情况，经过推理和论证得到满足题意的结果，进而得出存在的结论，若得到的结论与已知条件、定义、定理等相互矛盾，则假设不成立。圆锥曲线这一模块主要考查的是基础知识、基本思想、基本方法以及数学运算、逻辑推理、数学建模、数学抽象的核心素养，题型重点突出、内容全面、形式多样、解法不一。

由以上的归纳可知，圆锥曲线试题突出基础性、全面性和综合性。那么，我们应该怎么样利用它的特性寻找到有效的教学方式呢？

三 教学建议

由近两年的考点趋势可以看出，圆锥曲线知识点的考查逐渐往定义和性质两个方向靠近，注重考查学生的基础知识以及所具备的数学核心素养。因此，为了更好的落实新课标中对于圆锥曲线的要求，笔者基于数学学科核心素养，提出几点教学建议，旨在帮助教师有目标的教学。

（一）创设问题情境，激发学习兴趣

根据建构主义理论，建构主义学习观认为学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。学生不是简单被动地接收信息，而是主动地建构知识的意义，这种建构是无法由他人来代替的。而教师应该给学生提供复杂的真实问题，学生不仅要发现这些问题，而且必须认识到复杂问题有多种答案，激励学生用不同的方法解决问题，这显然是与创造性的教学活动宗旨紧密相吻合的。教师必须创设一种良好的学习环境，学生在这种环境中可以通过实验、独立探究、合作学习等方式来展开他们的学习。数学核心素养的培育需要合适的问题情境与教学过程学生的思维品质、关键能力的形成和发展，需要在情境与过程中模仿、探究、体验、感悟，问题情境与教学过程是理解数学的必经之路。[2]

对于大多数学生而言，圆锥曲线这部分知识是抽象乏味的，因此激发学生学习知识的兴趣是不可忽视的事情，注重问题情境的创设可以有效的解决这一问题，在新课改的背景下，教师的教学应更加注重情境化，由于每一个数学知识都蕴含着特有的数学文化与生活情境，因此不同的问题情境能够帮助学生感受知识形成的过程和更好的记忆知识点。

例如，在椭圆的第一课时教学前，教师可以给学生播放行星运行的视频，让学生观察行星的运行轨道是什么样的？运行轨道又有什么样的几何特征？以此为学生创造问题情境，有效的激发学生的积极性，可以使得后续的教学更好地进行。这样的教学方式，往往会达到功必倍之效果。

（二）重视基础知识，深刻理解定义

在数学学习中，我们所做出的判断和推理，一般是以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念正是构成它们的基础。学生能否正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的关键因素。

从高考真题中可以看出，圆锥曲线的第一道小题大多都是考查学生对于定义的理解。因此教师在课堂教学中要回归课本，重视概念的教学，完善学生的知识体系，落实学生对每个定义、定理以及性质的理解。学生没有在理解的基础上去记，往往导致学生做题时无法灵活运用，间接导致学生计算量增大[3]。

例如，在椭圆的定义教学过程中，教科书上对于椭圆的定义是“平面内与两个点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。”如果在定义的教学中，教师生硬的将椭圆的定义灌输给学生，学生将不会深刻的理解定义和灵活运用定义。相反地，如果教师重视知识形成的过程，在教学前让学生动手实验画出椭圆，学生会有一个深刻的印象，同时也能更好的理解定义。

（三）培养创新意识，加强拓展训练

当前有许多高中依然采用机械的方法大量地刷新题库，在这种教学方式下，学生思维僵化而无创新能力，学习场转变为做题训练场[4]。圆锥曲线教学的过程也是培养学生创新意识的过程，每一道圆锥曲线的试题，都有不同的方式解决。教师在教学的过程中，应该鼓励学生尝试用不同的方式解决问题，通过这种教学方法，可以有效的培养学生的发散性思维和创新意识。

例如，在2019年全国卷Ⅱ理科数学21题的第二小题中，大多数学生的惯性思维是设过原点的直线，但如果学生先设另外两条直线，会发现解题的过程有巨大的差异，每种解法都有自身的优缺点。教师应鼓励学生尝试不同解法，寻找最合适的途径。

（四）培养核心素养，落实每个课堂

自新课标实施以来，学生的数学核心素养培养越来越受到国家的重视。高考作为衡量高中教育的最后一次考试，其试题的设置也都意在考察学生的数学核心素养，对于圆锥曲线这部分知识来说，它既能够在各个方面培养学生的数学核心素养，例如数学抽象、数学运算、数学建模和逻辑推理等，又能够培养学生的思维，将学生的思维打开。课堂，从来都不只是教师表演的舞台，只有学生的积极参与，才有活力四射的课堂；只有学生的素养提升，才能体现课堂教学的价值[5]。因此教师在教学的过程中，不要一味的教学生解题，而要注重数学核心素养的渗透。

例如，圆锥曲线题型的运算量较大，是培养学生数学运算核心素养的良好载体。但是许多教师在教学过程中，都很少留有足够的时间给学生计算，有的教师甚至是直接将最终答案公布给学生，这种方法是不可取的。只有让学生亲自体会每一步计算所蕴含的技巧，才能够有效地将其转化为自己的技能。通过这种方式，学生的思维才能得到更好的训练，数学运算的能力才能得以 提升。

（五）提前感知知识，加强数学思维

在平日里的授课教学中，教师可以让学生提前感知知识形成的过程，例如，圆锥曲线中重要的一种解题方法是“相关点法”，教师不一定要在这个模块才为学生介绍这个方法，教师可以在直线与直线的位置关系这个知识点讲解时提到这个方法，比方说，当我们要求一条直线关于另一条直线的对称直线，我们可以假设对称直线上点的坐标为（x,y），再利用直线与直线之间的位置关系表示对称直线的方程。教师可以在其它知识点讲解时渗透这种思想，虽然刚开始学生们会难以理解，但是教师提前为学生“铺路”，随着学生的思维不断提高，当学生再次遇到这个问题时，就会迎刃而解。

四 总结

圆锥曲线是培养学生数学核心素养的重要载体，教师是提升学生数学核心素养的主要对象，课堂是提升学生数学核心素养的重要途径。所以教师在课堂上不能局限于几道题数学题的解答，而要深入挖掘数学问题的育人价值，树立以发展学生数学核心素养为导向的数学意识[6]。在教学中，教师还要不断探寻新的教学方式，以学定教，做到有的放矢的教学。