发展空间想象 构建积分思想

吴昊

“图形与几何”内容的学习都指向空间观念的培养，发展学生的空间观念是《课程标准》中的一个重要目标，而学生空间观念的形成会直接促进学生思维能力的发展。数学教学中学生究竟应该怎样学，才能使空间观念得以形成，空間想象力得到更快地发展？圆柱的认识，是学生思维从二维到三维的又一次提升。本文就从“学生的知识现实出发，打破仅仅通过静态的观察与操作来认识立体图形的方法，巧妙融入积分思想，以运动变化的全新视角组织教学”这一角度来谈一谈如何引导学生经历三次积分变化，真正让其在观察、想象、推理和图形的相互转换中深刻认识圆柱体，发展空间观念。

一、“以动思定”重联系，抽象分析底面积分

培养学生的空间观念，其终极目的就是发展学生的空间想象力。如何引导学生由原本“圆面”的认识过渡到“圆柱体”的认识，发展空间观念，培养空间想象能力尤为重要。

1.经验对接，想象中认识圆柱体

空间观念的根应该是空间想象力，因此新课伊始，我迥异于传统的以观察、操作模型为主要手段的图形认识的教学，而是从学生熟悉的长方体出发，让学生发挥想象，想象在长方体的上面画一个最大的正六边形，并垂直地切下去，形成的图形会是什么样子？而后继续想象在上面画一个最大的正八边形并垂直地切下去形成的图形的样子，想象还在继续……当画出的正多边形的边数不断增加，达到无数条，再垂直地切下去，你会想到什么？当然是圆柱体。这样学生在几次想象与课件动态化的呈现中，对圆柱的几何体形成初步的感知，为后面的底面积分做好了充分的铺垫，同时发展了学生的空间想象力。

2.动态叠加，深刻感悟面聚成体

思考和想象等思维活动是发展空间观念的重要条件，教学中待学生在“看一看、摸一摸”等活动发现圆柱体有两个圆形底面，并猜想它们的大小相等时，教师抓住契机引导学生进行验证。当学生通过操作、推理得到圆柱体两个底面的大小完全相等时，教师并没有止步，而是引导学生边想象边验证，经历多次底面定积分，在动态变化中建立底面与高的联系。

二、“线聚成面”促提升，体验应用曲面积分

《课程标准》中指出，通过观察、想象、操作、比较、归纳、概括、推理等方式认识立体图形，有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。因此在教学圆柱体的侧面时，我是这样设计的：

1.操作想象，推理线聚成面

学生在得到无数个高不同的圆柱体后，我让学生在准备的圆柱体模型上指出高，并尽可能多指出一些高。接着让学生静下心来想一想，圆柱的高究竟有多少条？学生发现圆柱体像这样的高有无数条。教师继续追问：像这样的（指着模型的侧面上的一条高）无数条高在哪里？（生：侧面）侧面在哪儿？在学生动手摸圆柱体的侧面的过程中，巧妙地将线与面进行沟通，继而教师通过演示在圆柱体模型上画一条高、两条高、三条高……让学生观察并想象：当这样的高达到无数条时你想到了什么画面？学生顺应教师的思维必定会“看到”：无数条高紧紧排列在一起形成了一个侧面，而后再将这侧面上的无数条高引向内部的无数条高。有人说：”没有想不到的，只有做不到的。”透过这个片段，我们看到，学生在教师直观操作和巧妙的问题引领下，经历“观察—操作—想象”的数学活动的过程，并通过想象，经历侧面的形成过程，体悟曲面积分思想，做到真正意义上的发展空间观念。

2.对比体验，揭示概念本质

为了更深刻地理解侧面、底面两个概念的本质，我借助一个小实验帮助学生体悟：将两个完全相同的圆柱体放在斜面上，一个圆面接触斜面，另一个侧面接触斜面，先猜想如果两个圆柱同时滑落下来，会出现什么情况？通过动态演示，使学生直观感受侧面与底面的不同，渐次抽象认知材料，并通过再次回顾侧面的形成过程，体悟“曲”和“平”的本质区别，使学生比较准确地把握这一知识点的内涵和外延。

三、“慢中追远”求发展，透视想象切面积分

在几何知识教学中，高维的图形可以由低维的图形运动变化得到，让“隐藏”的知识“呈现”起出来。通过直观的图像、鲜艳的色彩，刺激学生的多种感官，促使学生积极思维、大胆想象、优化教学效果。

1.玩中想象，体验面动成体

无论是传统教材还是新教材在“圆柱的认识”这一课都有意识地通过游戏搭建长方形与圆柱体之间的联系。因此教学时引入儿时的小游戏：在一根小棒上黏上一张长方形卡纸，然后快速转动小棒。并提出：你能想象出旋转后得到的图形是什么吗？以此来激活学生已有的生活经验，引导学生用数学的眼光观察生活，实现“数学化”的学习过程。

2.透视想象，渗透积分思想

学生的几何思维水平的发展是循序渐进的，什么时候需要快？什么时候需要慢？是一个值得思考的问题。本片段教学从旋转的角度认识圆柱体，起初的快速旋转，让发现旋转得到的是圆柱体，体会圆柱体与长方形的联系。而后动态展示慢镜头旋转过程，感悟无数个类似长方形切面的小区间积分成体的动态过程。

3.变换角度，体悟切面积分

生活中的圆柱体是看不到里面的长方形的，如果想看到，只能靠动手切。让学生模拟操作切的方法，自主找到切面。同时思考：切开后看到的长方形与它所在的圆柱体有着怎样的关系？以此来借助面分析体，从外到内，深度剖析圆柱体，加深对圆柱体的认识。思考还在继续，除了能切出长方形，还能切出什么图形？怎样切？这样就联系到了前面的圆形底面积分形成圆柱体，学生会想到切出的圆面和底面完全相同，想着这样切一刀得到两个圆柱体，切两刀得到三个圆柱体……切n刀，得到（n+1）个圆柱体，再次体悟底面积分的思想。

学生经历两次切的过程，有层次地清晰的认识圆柱体的特征，通过动眼、动手、动脑、动口有序地探究，使圆柱体的特征深刻地进入学生的头脑中，形成鲜明深度的认识。

整节课，通过平移成面，旋转成体，给学生指出认识立体图形的思想方法动向，依托多次空间想象，渗透积分思想，让学生体验从运动变化的视角认识图形特征的基本方法，从而循序渐进地培养和发展学生的空间想象力。