理论力学中受力分析教学研究与探索

李立兵

摘  要：理论力学中受力分析教学内容涉及到公理、约束和力系平衡等知识点。看似简单的公理和约束的理论知识，如何让学生熟练掌握并解决工程实际受力分析，确实不易。老师需要在教学过程中研究学生常见问题并探索解决问题的方法，达到事半功倍的教学效果。文章分析了自己过往受力分析教学中发现的问题，利用典型受力分析案例，探索性给出解决这些问题方法，为受力分析教学提供参考。

关键词：理论力学;受力分析;教学

Abstract： The teaching content of force analysis in theoretical mechanics involves knowledge points such as axioms， constraints and force system balance. It is not easy for students to master and solve the practical engineering stress analysis with seemingly simple theoretical knowledge of axioms and constraints. Teachers need to study students' common problems and explore ways to solve them in the teaching process， so as to achieve twice the result with half the effort. This paper analyzes the problems found in stress analysis teaching in the past， using typical stress analysis cases， and provides exploratory solutions to these problems， providing reference for stress analysis teaching.

Keywords： theoretical mechanics; analysis of forces; teaching

引言

理論力学是一门理论性较强的专业技术基础课。它是研究力学中最普遍、最基本的规律，是后续力学课程的重要基础[1]。受力分析是理论力学教学中极其重要的教学内容，是学好其它力学课程的根基。倘若这部分内容掌握不好，就不利于后续理论力学内容和其它力学课程的顺利学习。受力分析在中学和大学物理课程中已经学习过，学生有些基础。理论力学中受力分析是在此基础上进一步面向专业技术延伸。学习过程中，学生认为学过太容易，就不放在心上。在解决受力分析问题时，学生往往习惯惯性思维，延用过去掌握的受力分析知识来分析，结果经常出错。老师在讲解受力分析时，由于涉及知识点多，又不易讲透，所以就像炒一锅“夹生饭”[2]。因此，理论力学中受力分析教学看似简单，实质不易，要让学生掌握好受力分析这部分内容，老师还必须下点功夫。何洋[3]等人提出利用“自由度”理论来进行受力分析。该受力分析方法是从约束概念出发，引入“限制”，从判断“限制”来确定“约束力”。例如某一方向上平移自由度被限制了，则这一个方向就有约束力，该约束力方向与被限制的运动方向相反。因此，该分析方法本质上还是利用约束的分析方法来进行受力分析，而且又增加了专业性强的“自由度”概念，无形中又给学生增添了学习的难度。本文根据自己多年理论力学教学经验，从分析和研究学生在受力分析学习中存在的问题出发，结合受力分析典型案例提出解决这些问题的办法，为受力分析教和学提供参考。

一、受力分析教学中的问题研究

受力分析教学涉及到理论力学静力学和动力学部分，重点在静力学部分。由于受力分析在中学和大学物理课程上已经学过，学生在理论力学学习时，不够重视，仍沿用过去的分析方法，去进行受力分析，根本没有考虑理论力学与前述课程的受力对象和分析方法的不同。另外这部分内容理论多，看似没有用，但受力分析时，处处要用到，一不小心就错。在多年理论力学教学过程中发现学生经常在以下几个方面出现问题。

（一）受力对象模型

中学和大学物理课程上，进行受力分析的研究对象模型为多为质点。受力分析时，各力作用点均画在质心。而理论力学研究对象模型多为刚体，要考虑刚体的形状和尺寸，因此，受力分析时要考虑力作用点的位置。由于没有弄清楚受力对象模型之间的区别，学生在受力分析时，经常忽略力作用点的位置，直接画在物体的质心上，引起错误。另外一个常见错误是：不管题目中有没有要求，受力分析时，学生看到物体就在质心上画个重力。在理论力学受力分析过程中，轻质杆件通常是不考虑重力，如桁架构件。

（二）选择受力对象

在进行受力分析时，特别是针对多个物体组成的系统，有些学生一脸茫然，无从下手，不知道首先选择那个物体进行受力分析或者先是分析系统还是分析其中单个物体。

（三）约束分析方法

学生在利用约束分析方法的学习过程中，对约束和约束力概念没有足够地理解，导致经常出错。经常出错的问题包括：不同约束约束力个数、约束力方向和作用点;圆柱铰链中销钉;光滑接触面法线;主动力与约束力等。在理论力学教材中，关于约束与约束力的阐述比较简单，就几行文字，要让学生自己去分析理解有点困难。因此，老师在讲解约束与约束力时，要有足够的通俗易懂的分析。对于约束的理解：约束就是限制其它物体的物体，因此约束本身是“物体”，这个物体对其它物体起“限制（或阻碍）”作用，这样分析很重要。这样就很好理解“约束力”和“解除约束的原理”。对于约束力的理解：约束力就是约束物体对被限制物体的作用，约束力方向与该约束物体阻碍的位移方向相反。解除约束就是移除约束物体，在被限制物体上用约束力来代替约束物体的作用。不同种类的约束对被限制物体的阻碍作用不同，因此解除约束后会有不同的约束力。另外，利用约束分析方法进行受力分析时还要注意分析主动力和约束力的关系。对于主动力的理解：主动力就是能使物体产生主动运动的力，通常有重力和驱动力。主动力和约束力同时作用在物体（或系统）上，它们有先后依赖关系。物体（或系统）上首先作用主动力，使得物体（或系统）产生运动或运动趋势，然后由于约束力的存在，才阻碍了物体（或系统）的运动。这个次序不能颠倒。在受力分析时，也是按照这个次序进行主动力和约束力的分析。

（四）公理分析方法

在利用约束分析方法进行受力分析时，时常用到公理知识，包括二力平衡公理、三力平衡汇交定理和作用力与反作用力定律等。由于学生只知道背诵公理，至于怎么应用公理去进行受力分析，理解和掌握不够，因此经常会造成二力体、三力体和作用力与反作用力的受力分析出错。由于公理很抽象，不好理解，更难将公理应用到受力分析中，因此，老师在讲解公理时，要多结合受力分析案例去分析和理解。例如二力平衡公理应用到刚体上就有了二力体，是物体受力平衡最简单形式。在受力分析时，是首先要分析的物体。二力体受力特点就是物体受两个力，它们等值、反向和共线。进行二力体受力分析时必须满足此特点。二力体经常出错是受力不满足等值、反向和共线。对于三力体就是三力平衡汇交公理引出的刚体受力模型，其受力特点是其中任意两个力汇交则第三个力作用线必通过汇交点。三力体受力分析时要注意画上第三个力后，要使得物体平衡。经常出错是第三个力的方向。对于作用力与反作用力公理，要讲明白一对平衡力和作用力与反作用力的区别。一对平衡力是作用在同一物体上，而作用力与反作用力是在相邻位置，分别作用在两个不同物体上，不能平衡。经常出错是作用力与反作用力的作用点和方向。

以上分析和研究了学生在受力对象和分析方法上容易出错的四个方面，在受力分析教学过程中，需要重点阐述，讲透，针对性多练，避免出错。下面将通过对一个铰接刚架的受力分析，阐述如何让学生避免容易出错的地方。

二、受力分析教学中的探索

一个铰接刚架，如图1，在A点、B点和D点为光滑圆柱铰链连接，C点为光滑接触， AB杆上E点受一个集中力F，剛架处于平衡状态，不计所有杆件重量，所有接触处均为光滑。试分析各杆及系统的受力情况。下面针对学生在受力对象和分析方法上容易出错的地方进行详细分析，并给出解决问题的办法，避免受力分析时出错。

（一）对于“受力对象模型”问题

首先考虑各杆不计重量，因此在各杆质心上没有重力作用。其次考虑各杆为刚体，分析各杆受力时注意作用点，不能放在质心上。图中约束力作用点应分布在A点、B点和D点铰链和C点光滑面的约束处。

（二）对于“选择受力对象”问题

选择分析受力对象，首先选择主动力所在刚体，其次考虑与它相邻刚体，进而逐步展开。图中AB杆上E点受一个集中力F，因此先选择AB杆，然后再选择AD杆和BC杆。对于先整体受力分析还是局部受力分析，这个问题最好放在研究力系平衡部分讨论，因为要考虑所求未知量与平衡方程数的关系，这里就不展开讨论了。

（三）对于“分析方法”问题

受力分析方法通常有约束和公理分析方法，在进行受力分析时通常先采用约束分析法，然后局部采用公理分析法。下面先采用约束分析法进行受力分析。该铰接刚架主动力在AB杆上，因此受力分析从AB杆展开。取AB杆为研究对象，画出分离体，如图2。注意在A点和B点铰链处固连圆柱销钉（图中空心圆表示圆柱销钉，以下相同）。对于铰链处圆柱销钉的处理是一个难点，经常出错。避免出错的方法就是看销钉上有没有作用主动力，如果有，就将销钉作为一个分离体取出来进行单独受力分析;如果没有，销钉就没有必要单独取出进行受力分析，而是将销钉固连在铰链连接的任意一个刚体上，然后联同这个固连的刚体一起进行受力分析。在AB杆的分离体上，先画主动力，即在E点画主动力F，然后再确定约束力。AB杆在主动力F作用下要运动，由于在A点和B点处受到圆柱铰链约束，其约束力限制其在力F作用线与AB杆确定的平面内运动。这样分析AB杆上主动力和约束力就可以避免出错。考虑B点圆柱销钉所受约束简单，先分析B点，然后再分析A点。在B点受到圆柱铰链的约束，此铰链约束通过圆柱销钉与BC杆连接，限制AB杆在力F作用线与AB杆确定的平面内运动。限制的方向未知，可表示为水平和铅直两个正交方向的运动，故有FBx和FBy两个力。该未知平面约束力，被简化为正交两方向表示，也是为后面研究力系平衡作准备。在A点受到圆柱铰链的约束，此铰链约束通过圆柱销钉与AD杆和水平固定面连接，因此AB杆在A点受到AD杆和水平固定面两个方面的限制。对水平固定面来说，限制AB杆在力F作用线与AB杆确定的平面内运动。限制的方向未知，可表示为水平和铅直两个正交方向的运动，故有FAx和FAy两个力。对AD杆来说，也限制了AB杆在力F作用线与AB杆确定的平面内运动，但其约束力不可简单描述为正交FADx和FADy两个力（如图3）。对AD杆来说，应该用公理分析法。因为AD杆在A点和D点两处受到圆柱铰链约束，限制了AD杆在力F作用线与AB杆确定的平面内运动，且AD杆处于平衡状态。根据二力平衡公理可知此时AD杆受一对平衡力作用。它们分别作用在A点和D点，特点是等值、反向和共线。因此， A点和D点的约束力是确定的，这里应为一对拉力：FAD和FD，如图4。那么，AB杆在A点受到AD杆的约束力，又用到公理分析法：作用力与反作用力定律，即AB杆在A点受到AD杆的约束力与AD杆在A点受到AB杆的约束力互为作用力与反作用力。因此，在AB杆上A点受到AD杆的约束力表示为F′AD，如图2。

下面对BC杆进行受力分析。由于BC杆上没有主动力作用，因此，只要分析约束力。取BC杆为研究对象，画出分离体，如图5，注意在B点和D点铰链处没有固连圆柱销钉，C点为光滑面约束。先分析B点和D点约束力，然后再分析C点约束力。在B点和D点分别受到AB杆和AD杆的约束力。因为在AB杆和AD杆上同样位置已经分析过约束力，因此，分析BC杆上这两点约束力只能用公理分析法：作用力与反作用力定律。故在B点受到AB杆两正交反作用力F′Bx和F′By;在D点受到AD杆的反作用力F′D，如图5。在C点受到水平光滑面约束，限制BC杆沿水平光滑面法线方向向下运动，如图5中C点，水平虚线代表水平光滑接触面，铅直虚线就是水平光滑面的法线。因此，C点受到水平光滑面的约束力应该沿光滑面法线方向向上，起阻碍作用如图5中FCy。在受力分析时有些学生认为该点的杆会向右侧运动，应该有一个力限制其运动，故错误的在光滑面的水平方向上虚加一个力，如图6中FCx。避免发生这个错误，还是要从约束概念出发，在C点沿光滑面水平方向上没有受到约束物体的限制，因此就没有约束力。另外，也可用力的概念来说明，力是物体与物体之间的相互作用，如果水平方向上增加一个力FCx，那么这个力对应的施力体是什么？找不到施力体的力，都是不存在的。BC杆的受力分析还可以利用三力平衡汇交定理，如图7。BC杆在B点、C点和D点三个力作用下平衡。由于C点的约束力FCy和F′D作用线延长线汇交于G点，那么B点的约束力FB作用线必定通过G点。注意这里经常出错的地方是FB约束力的方向，记住画上力FB一定要保持BC杆平衡。另外，如果BC杆的受力分析用三力平衡汇交定理，那么在分析AB杆上B点受力时，受到BC杆的约束力应为FB的反作用F′B，如图8。

对刚架系统受力分析，仍采用约束分析法。刚架系统受到主动力F作用，在A点和C点受到约束限制。取刚架系统为研究对象，画出分离体，如图9。先在AB杆上E点画主动力F，然后再确定约束力。A点为铰链约束，限制系统在力F作用线与AB杆确定的平面内运动。限制的方向未知，可表示为水平和铅直两个正交方向的运动，故有FAx和FAy两个力。C点受到水平光滑面约束，约束力FCy沿光滑面法线方向向上。系统受力分析时容易出现的问题是如何判别系统外力和系统内力。系统外力是系统以外物体对系统的作用，其中包括主动力和约束力。系统内力是系统内部相邻物体间的相互作用，为约束力，如该系统中在B点、D点和AD杆上A点的约束力。注意在分析系统受力情况时，不需要分析系统内力，只需要分析系统外力。

本节利用约束和公理两种分析方法，对铰接刚架案例进行了详细受力分析。在分析过程中分析可能产生的错误，并给出避免产生错误的解决方法。在理论力学教学过程中，本人应用了这些方法，深受学生欢迎。

三、结束语

理论力学中牵涉受力分析教学内容包括静力学和动力学，涵盖知识点多。本文研究了受力分析过程中常见问题，利用公理和约束分析方法对典型案例进行受力分析。其它有关摩擦以及动力学等部分的受力分析问题没有展开讨论，而这些章节的受力分析，都是在公理和约束分析方法基础上展开的，因此掌握好公理和约束分析方法，有利于后续力学知识的学习。在公理和约束分析方法教学环节，如何将公理和约束理论知识应用到解决工程实际受力分析，需要教和学两方面多下功夫，否则理论就是理论，无法变成解决问题的方法。作为老师来说，以学生为中心，细心关注学生学习中出现的问题，针对这些问题，多研究多探索些解决问题方法，以达到事半功倍的教学效果。

参考文献：

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学I第8版[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]李俊峰.我怎样讲受力分析——理论力学教学札记之一[J].力学与实践，2003，5（5）：68-69.

[3]何洋，修树东，姚文斌.静力学受力分析教学方法研究——基于“自由度”理论[J].河北农业大学学报（农林教育版），2014，16（5）：104-106.