基于概念教学的初中数学教学课堂优化

广东省东莞市樟木头中学(523621) 曾长青

1 概念教学概述

概念教学是数学教学的内容之一,其目的是使学生掌握数学概念的含义,形成对数学的基本的、概括性的认识[1].即需要认清楚概念的内涵与外延,以及概念的数学表达.与此同时还需要了解各概念之间的关系,比如正弦函数与余弦函数之间的关系,从而构建自己的知识结构体系.如果可以了解概念来源的背景,那么就可以更好的理解与应用.数学概念的教学有赖于对数学概念的认识.

概念教学通常可以从概念来源的背景进行介绍,表明概念存在的土壤,让学生明白之所以引入这个数学概念不是我们凭空想象的而是现实所需要的.其次就是在各种对象中,归纳出具有本质属性的共同点,最后在经过归纳抽象得到一般的概念.这种从一般到抽象的教学方式易于被初中生理解与接受,也更加容易阐述概念的所包含的外延.

事实运用中,也并非如此.因为概念之间有些是存在从属关系的,比如说三角函数与一般函数之间的关系,当然也有其所特有的性质.所以从以往学过的概念来介绍新的概念也是一个不错选择,可以从旧的概念导入新的概念.

2 初中数学课堂的教学现状

当前,初中数学课堂教学不可以避免的随着中考走,在对数学概念的教学上, 数学教师都在使用不同的技术手段,把抽象的数学具体化,形象化,能够让学生感受到数学,目的只有一个就是帮助学生充分理解并掌握数学概念;除此之外还要设计一定量的练习题,让学生更好的理解与巩固所学过的知识.

笔者结合自身的数学教学体验,认为初中数学的概念教学可以从如下几个方面加以优化:

(1)新概念是旧概念的特例

初中的数学的知识点涉及了实数的运算,平面几何,代数以及概率等等方面的内容.我们在引入一个新概念的时候,所先考虑的不是直接来介绍这个概念,而是在已经学过的概念之内有没有类似的或是从从属的关系,比如在引入菱形的概念时,只需要在平行四边形的基础之上添加一个条件就可以得到菱形这个新的概念了.这样一来的,可以使学生感到菱形这个事物我之前就遇到过只是没有特别留意而已,它就是一种形状特殊的平行四边形,所有平行四边形的性质它都具备.在这样的前提下,教师再来介绍菱形所特有的性质时,就水到渠成了.学生无论在理解还是接受上都是相对比较的简单的.

(2)新概念综合旧概念,引入新思想

新的概念之所以是新的,里面肯定是蕴含了新的数学思想或至少也是对之前所学概念的总结与提升,肯定不是简单的组合.比如锐角三角函数的定义中,就整合了直角三角相似,是对直角三角形相似作了一个提升,而不是一个简单的组合应用.不仅如此在数学思想的处理上也得到了进一步的提升.相似是从几何的角度来研究图形,而三角函数则是从代数的角度来研究图形.尽管这两者的基础是相同的,但从此就分道扬镳, 三角函数将会从代数的角度来研究图形了.这一点在讲授三角函数时,特别需要向学生说明.但由于初中生知识及所遇到的问题有限,一下很难理解在这个方向上的含义.

(3)新概念打破旧的观念

函数是初中重要的一个概念, 最常见的就是一次函数,二次函数以及反比例函数,学生对函数的认识第一就是计算函数在某一的函数值,并且函数需要有自变量,稍微远一点的就是函数还可以用描点法来作图.但对于锐角三角函数确完全不是这样,第一个容易迷糊的地方就是锐角三角函数是在直角三角形中定义的,但是函数的变量是什么? 是直角三角形的边长吗? 这些都是学生容易迷糊的地方.另外,之前学过的函数都可以计算它在一点处的函数值,但三角函数就没有那么轻松了.之前很长时间建立起来的对函数的认知,很有可能在三角函数这里一一被打破,这也是对函数内涵更加深入的了解.可以对函数的理解提升一个层次.

3 初中数学课堂基于概念教学的应用[2]

基于上述初中数学概念教学,此处选择初中数学的锐角三角函数为专题进行结合性讲述.

案例1从函数的概念引入锐角三角函数

锐角三角函数是函数的一种特种类型,首先是函数,因此具有之前介绍过的函数的一般性质.但这里有其特殊性,主要体现在下面几点:

其一: 是函数的名字并且有专有的符号,锐角三角函数有正弦(sin),余弦(cos),正切(tan)三种(事实有六种,初中只介绍三种).

其二: 就是三角函数的变量的角度,初中阶段角度的度量单位是度数,它与实数相比还是有点不同的,实数是不带单位的.而角度是有单位的,到高中之后就可以用弧度来表示角度,而弧度是没有单位的.这样就可以在坐标系里画点了.我们知道坐标系是不带单位的.

案例2在直角三角形ABC 中,∠C =90°,设∠A=α,则根据三角函数的定义有sin α =cos α =

这里把三个三角函数定义为直角三角形的边长之比,容易给人造成一种错觉,就是三角函数的变量是直角三角形的三边,而不是角度了.事实上,只要有一个内角相等的直角三角形都是相似的,这样相似比就是确定的.所以与三角形的大小选择无关,但与角度α 有关.

这样三角函数从自于直角三角形的相似,但其本身是属于代数分析的,不属于几何领域,这一点事实上就为研究几何提供了一种新的思路,就是三角分析.这点在初中很难体会的到,毕竟在初中还是以纯几何的方式来研究几何的.

除此之外, 直角三角形模型还可以给出另一个重要的三角关系,这也是所有三角变换的源头,即由勾股定理可知:= 1 ⇔(sin α)2+(cos α)2= 1 即正余弦的平方和为1.

案例3接上例,怎样计算特殊角的三角函数值,利用两个特殊的直角三角形,即等腰直角三角形与带30 度角的直角三角形(就是一副三角板).

根据三角函数的定义,容易得到下表的特殊角的三角函数值：

注这里需要强调一下, 什么是特殊角与已知角的区别.所谓特殊角,是指角度为30 度,45 度,60 度的锐角;而已知角呢,就是已知这个角的某个三个函数值,比如对于锐角α,β,γ 有这样的话α,β,γ就都可以称为是已知角了.只不是我们不知道它们到底是多少度角而已.

同时,也给出了记忆特殊角三角函数值的方法,不用去死记硬背,只要把这两个直角三角形记住,再加上三角函数的定义,就可以直接从图上读出每一个特殊角的三角函数值.

案例4考虑如下图形, 即是延长CB 到D, 使得AC =CD,试计算∠D 正切值.

事实上,此时∠D =15°,这样一来,我们就可以把15 度角的三角函数值都给算出来了,只需要利用定义就可以做到.这样自然就会向学生提出一个问题,还有那些角度是可以通过这样的方式来计算的,更多类型可参考[3].

总之,概念教学是初中数学的一个重点也是难点,我们的目的就是使新的概念容易被学生所接受与理解,在初中阶段,学生之间的差异还是很大的,这就更要求数学教师设法把抽象的数学概念讲得通俗易懂,让不同基础的学生都可以掌握新的概念,学习新的知识.数学概念的教学还有很多的工作需要广大数学教师的不懈努力才行.