解析几何背景下的交汇融合问题

江苏省如皋市第二中学(226500) 汪云霞

新高考注重在知识网络的交汇处命题,既注重对数学基础知识的考查,又注重对数学思维深度的考查等.解析几何问题背景下,经常和函数与方程、不等式、平面向量、数列以及创新情境等其他相关知识加以交汇与综合,在试题设计上兼顾了相关知识的基础性、灵活性、综合性与创新性等,可以全面考查学生的综合数学素养,充分体现选拔性与区分度.

1 解析几何背景下的函数或方程

例1椭圆C :=1(a>b>0)的左顶点、上顶点分别为A,B,过椭圆C 的右焦点F 作x 轴的垂线交直线AB 于点D,若点F 关于直线OD(O 为坐标原点)的对称点恰好在直线AB 上,则椭圆C 的离心率e ∈( )

分析根据题目条件,先确定直线AB 的方程以及直线DF 的方程,结合勾股定理确定线段AD 的长度,结合条件并利用角平分线性质构建关系式,进而转化为涉及e 的高次方程,通过构建函数,结合求导并利用函数的单调性以及函数的零点存在性定理来确定方程的解的取值范围,即椭圆离心率e 的取值范围.

点评解析几何中,有关直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系等问题中,往往都会转化为函数或方程的相关知识来解决,特别是涉及解析几何中的最值、取值范围等相关的变量问题,往往借助函数与方程中的韦达定理来进行求根处理,结合函数的零点来确定取值情况,利用导数来解决取值范围等问题.

2 解析几何背景下的不等式

例2(2022 届广东大联考高三数学试卷(2021年11月25日)·16)己知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在y 轴上,F1、F2为C 的两个焦点,C 的短轴长为4,且C 上存在一点P, 使得|PF1| = 6|PF2|, 试写出椭圆C 的一个标准方程:____.

分析根据平面几何中的几何不等式(三角形性质: 三角形中两边之差小于等于第三边),构建对应线段边长之间的不等式,结合椭圆中参数的关系来确定对应参数的取值范围,从而为椭圆开放题的确定提供保障.

点评解析几何中求圆锥曲线的离心率的取值范围,线段的长度、直线的斜率或三角形面积的最值等问题中都涉及不等式的相关知识.解决此类问题往往从函数的角度出发,先建立目标函数,再进一步求该函数的最值问题.另外,圆锥曲线的定义、参数的取值范围和三角形的三边关系也提供了应用不等式的条件.

3 解析几何背景下的平面向量

分析根据题目条件设出相应点的坐标,引入坐标参数,结合题目条件,经常是平面解析几何中的距离公式、三角函数的定义、直线的斜率以及点所满足的圆锥曲线方程等,构建有关点的坐标的关系式,利用方程(组)的求解来确定对应的坐标参数,从而得以确定相应点的坐标,为进一步综合应用提供条件.

点评平面向量主要作为一个基本工具,创新综合与应用于解析几何中,审题时主要体现在: 利用向量的模给出线段的长度关系,利用向量的共线给出直线的平行,利用向量的夹角给出直线的夹角或垂直等.解题时点的坐标关系可以转化为向量的关系,从而借助向量得出解析几何的相关结论.

4 解析几何背景下的数列

例4(广西南宁市2022届高中毕业班摸底测试(10月) 数学理科试卷· 16 改编)如图,已知F1、F2是椭圆的焦点,M、N 为椭圆中两点,满足F1M//F2N,且线段F2N,F2M,F1M 的长度构成以2 为公比的等比数列,则∠F1MF2的余弦值为____.

分析利用椭圆的定义,结合等比数列的性质构建线段的比例关系,结合特殊值的选取确定各线段的长度问题,进而结合椭圆中辅助线的构建,利用椭圆的中心对称性这一基本性质,将三条边长转化到同一个三角形中,然后再利用椭圆的定义,结合余弦定理在等腰三角形中求解∠F1MF2的余弦值大小就很明显了.

解析根据椭圆的定义可知F1M +F2M = 2a,又由于线段F2N, F2M, F1M的长度构成以2 为公比的等比数列, 则有F1M =2F2M, 可得不失一般性, 不妨设a = 3, 则有F1M = 4, F2M = 2, F2N = 1, 如图所示, 延长MF1交椭圆于点P, 连接F2P, 根据椭圆的对称性可知F1P = F2N = 1, 根据椭圆的定义可知F1P + F2P = 2a = 6, 可得F2P = 5, 在ΔMPF2中, MP = F2P = 5, F2M = 2, 根据余弦定理可得cos ∠F1MF2= cos ∠PMF2=所以∠F1MF2的余弦值为故填答案:

点评解析几何与数列可以互为背景,交汇融合在一起考查学生的数学素养: 以数列的形式可以给出椭圆的条件或线段间的关系,以解析几何为背景可以把曲线上点的坐标关系转化为数列的递推关系,也可以把一系列的线段长度问题转化为数列的项等.解答的关键是能够熟练的实现两者之间的等价转化与应用.

5 解析几何背景下的创新情境

例5(2021年安徽省合肥市高考数学第三次教学质量检测试卷)如图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时,园主都需要雇佣人工采摘,并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C 处销售.路径1: 先集中到A处,再沿公路AC 运送;路径2: 先集中到B 处,再沿公路BC运送.园主在果园中画定了一条界线,使得从该界线上的点出发,按这两种路径运送油桃至C 处所走路程一样远.已知AC = 3km,BC = 4km,若这条界线是曲线E 的一部分,则曲线E 为( )

A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

分析利用题目条件,结合两种路径运送油桃至C 处所走路程一样远,由此构建关系式,通过变形转化,并结合已知线段的长度确定AP -BP 的值,综合双曲线的定义加以分析与判断.

解析由题意,从界线上的点P 出发,经A 到C 与经B到C,所走的路程是一样的,则有AP +AC =BP +BC,所以AP -BP =BC-AC,又由BC =4,AC =3,所以AP -BP =4-3=1,又由AB =5,根据双曲线的定义可知曲线E 为双曲线的一部分,故选择答案: D.

点评解析几何中的圆、圆锥曲线是一些创新情境问题设置的基本问题景,将一些公式原理、科学技术、微观宏观问题等与解析几何知识加以直接联系,把“远在天边”、微观无法正常识别以及宏观无法触及的一些问题中抽象出数学模型来分析与解决,实现问题的交汇与融合.

解析几何作为高考中的一大主干知识, 其与函数与方程、不等式、平面向量、数列以及创新情境等相关知识的交汇应用,综合性强,创新性强,实现不同知识点、不同问题场景等之间的“串联”,很好突出了数学不同知识间的相互联系,有利于培养学生综合运用知识进行解题的能力、创新意识与创新应用等.