因式分解的三个技巧

徐星

因式分解是指将一个多项式分解成两个或者多个整式乘积的形式.它不仅可用于代数式的化简、求值以及解方程和不等式等代数问题中，而且在判定三角形或四边形的形状等几何问题中也扮演着重要角色.所以，掌握因式分解的方法和技巧是很重要的.因式分解的常用方法有公式法、提公因式法、分组分解法等.除了这些方法以外，我们还应掌握一些特殊技巧，如拆（添）项法、换元法、主元法等.同学们应根据多项式的具体结构特征，灵活选用不同的方法和技巧.

一、拆、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算，在进行多项式乘法运算时，通过对多项式的各项进行整理和化简，将几个同类项合并为一项，或者将两个仅符号相反的同类项相互抵消后，就会造成多项式的“缺项”.对这一类多项式进行因式分解时，就要先恢复那些被合并或者被抵消的项，即将多项式的某一个项拆成两项或者多项，或者在多项式当中添加两个仅符号相反的项.前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是在对多项式进行因式分解时，方便运用提公因式法或分组分解法.

例1分解因式：x3-3x2+4.

分析：这个多项式无法直接提取公因式，也不能运用公式法.由于多项式当中缺少一次项，所以可以灵活运用拆项法来解题.

点评：从以上三种解法可以看出，使用拆项法进行因式分解，并没有严格规定要拆分哪一项，因此，同学们在做题的时候要仔细观察多项式中每一项的特点，通过灵活的变化来化繁为简，解答疑难问题.

例2 分解因式：

分析：观察式子的形式，和完全平方式的展开式看起来较为相似，所以在进行因式分解的时候可以进行联想，通过添项后利用平方差公式來完成因式分解.

解：

例3分解因式：

分析：遇到这类题目时，要仔细分析各项的特点，并根据 b + c = c - a + a + b 考虑添项.

解：

点评：使用添项法分解因式时，关键是要根据多项式的特点进行恰当的添项，让添项后的多项式可以更好地用提取公因式法、公式法等其他常用方法来进行分解.

二、换元法

对于比较复杂的多项式进行因式分解，可以考虑运用换元法，将其中某一部分看作一个整体，然后用一个新的辅助元来代替.将含有新元的多项式进行因式分解之后，再将新元所替换的部分代入因式分解后的多项式，就能得到原多项式因式分解的结果.换元法可减少因式的项数或降低因式的次数，使多项式简化.在具体运用换元法时，可根据情况进行部分换元、整体换元或平均换元等.

例4 分解因式：

分析：这道题涉及多项式的平方，如果正常展开后分解，数据的计算量很大.在经过仔细观察之后，可以将 x2 - 3x 这一项看作一个整体，从而简化因式分解的过程.

例5 分解因式

分析：在对二元因式进行分解时直接去括号非常复杂，所以可以考虑运用换元法，分别将x和y的和与积视为整体来进行换元.

解：

点评：整体替换可以让复杂的题目变得简单.但当遇到复杂的多项式，无法用一个辅助元完成整体换元时，可根据题目中多项式具备多元性的特征，用两个辅助元分别代换原多项式中的代数式，使因式分解简单化.

三、主元法

对含有多个字母的代数式进行因式分解是比较复杂的一种题型.这时可以考虑运用主元法，即选择一个字母作为主元，将其他字母都看作常数，然后将整个多项式按照以主元为主的方式进行升幂或者降幂排列，最后再尝试因式分解.运用主元法解题的关键就是选择合适的主元，一般选择次数较低的字母为主元，将多项式变成熟悉的形式，这样就能让分解因式的过程变得简单.

例6 分解因式：

分析：式子中有两个字母，可以考虑运用主元法，其中字母 a 的次数更低，所以可以选择字母 a 作为主元来进行因式分解.

解：

例 7 分解因式：

分析：当两个字母最高同为 2 次幂的时候，可以随便选择一个字母作为主元，得到的结果是一样的.

解：

点评：以上两道题如果不使用主元法，很难进行因式分解.在选择主元时，一般选择次数更低的作为主元，这样可以达到降幂的效果.当字母次数相同时可任选其一为主元，都可以简化因式分解的过程.