小议对数中的求值问题

■金海平

对数是高中数学中的重要知识点,对数中的求值问题是同学们容易出错的地方,解这类问题的关键是弄清题意,选准公式,细心计算。

一、利用两个同底的对数相等求值

例1设lga+lgb=2lg(a-2b),则的值为____。

解:因为lga+lgb=2lg(a-2b),所以a>0,b>0,a-2b>0,所以ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0,解得a=4b或a=b(舍去),所以

利用两个同底的对数相等,得到真数相等,再通过转化即可求值,但要注意对数的真数恒为正。

二、利用对数的性质求值

例2计算:=____。

利用对数恒等式logaaN=N(a>0,且a≠1,N∈R),alogaN=N(a>0,且a≠1,N>0)时,一定要注意公式的结构,当指数的底数和对数的底数是同一个数时,才能用此公式。

三、利用对数与指数的转化关系求值

例3若2a=5b=10,则的值为____。

解:因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以

对数源于指数,对数与指数互为逆运算。对数与指数之间的关系:当a>0,且a≠1 时,ax=N⇔x=logaN。

四、利用对数的换底公式求值

例4若xlog38=1,则8x+8-x的值为_____。

解:因为xlog38=1,所以x=log83,所以对数换底公式为logab=且a≠1,b>0,c>0 且c≠1)。特 别 地,logab·logba=1(a>0且a≠1,b>0且b≠1)。

五、利用分段函数的性质求值

解答本题的关键是判断2+log23 是 大 于4 还 是 小 于4,再把2+log23代入分段函数的解析式中。解题时容易出错的地方是直接把2+log23代入中进行计算。

六、利用韦达定理求值

例6设logac,logbc是方程x2-3x+1=0的两个根,则的值为____。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2与系数的关系为

七、利用函数的性质求值

例7若函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为____。

解:当0

当a>1 时,f(x)=logax是定义域为(0,+∞)的增函数,所以f(x)min=logaa=1,f(x)max=loga2a,所以3=loga2a,所以a3=2a。因为a>1,所以

综上可得,满足条件的a的值为或。

对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的单调性与底数a有关,因此要注意分类讨论。

八、利用函数的周期性求值

例8设f(x)是定义在R 上的函数,且f(x+2)=f(x+1)-f(x),若f(1)=,f(2)=lg15,则f(2023)=____。

由已知条件和对数的运算性质,找出函数值的变化规律,即可得到函数的最小正周期,利用周期可求得结果。