一个具有大范围超混沌状态的五维多稳态系统

曾以成 李文轩† 孙小力

（1.湘潭大学 物理与光电工程学院，湖南 湘潭 411105；2.山东财经大学 燕山学院，山东 济南 250000）

混沌系统具有非周期性、伪随机性、初值和参数敏感性等特点，常被应用于密码学领域［1-3］。经过几十年的发展，专家学者们研究了具有各种特点的混沌系统，如具有极端多稳态的混沌系统［4-5］、具有隐藏吸引子的混沌系统［6-7］、具有恒Lyapunov指数特性的混沌系统［8-9］等，极大地丰富了混沌系统的种类。

目前，具有宽参数范围的混沌系统逐渐被大家研究［10-12］。因为其参数在大范围变化，系统都保持混沌状态，避免了因参数变化或者误差因素导致混沌系统的混沌特性消失这种情况，所以这类混沌系统在工程应用中可以保持良好的混沌特性，更适合保密通信等领域。贾红艳等［13］发现了一个大范围的4D超混沌系统，参数范围为［10，900］。梅容等［14］提出了一个4D超混沌系统，其参数在［0，2×103］变化时该系统一直保持混沌与超混沌特性。Xian等［15］构造了一个存在共存吸引子的大范围3D混沌系统。徐昌彪等［16］发现了一个大范围的3D混沌系统，该系统不仅在参数范围［0，104］内保持混沌状态，还产生了混沌吸引子共存现象，但仅对电路进行了仿真。综上所述，在耗散混沌系统中，目前发现的大范围参数混沌系统都是三维和四维的混沌系统。在五维耗散系统中，具有宽参数范围的超混沌系统很少被研究。

众所周知，具有共存吸引子的系统的动力学特性更加复杂。特别是在加密领域，多稳态下的吸引子可以提供多个加密密匙，密匙的多样性则会给解密工作增加难度，从而使系统有较强的保密性能。因此，吸引子共存类型多的混沌系统更适合应用于加密领域。Lai 等［17］提出了一个至少具有6 种吸引子共存类型的四维混沌系统。Zhang 等［18］构造了一个无平衡点的四维混沌系统，其至少具有9种共存类型。鲜永菊等［19］构建了一个具有10种吸引子共存类型的四维混沌系统。虽然上述研究具有多稳态的混沌系统比较多，然而在已有的宽参数范围超混沌系统中，对多种吸引子共存类型研究较少。

因此，为了得到宽参数范围且具有多种共存吸引子类型的超混沌系统，本研究构建了新的五维超混沌系统。当参数d变化时，该系统产生12种吸引子共存现象，增加了该系统的复杂性。当参数m在区间［0.1，4×103］变化时，该系统一直保持在具有2 个正Lyapunov 指数或者3 个正Lyapunov 指数 的超混沌状态。最后使用现场可编程门阵列（FPGA）板对新的五维超混沌系统进行电路实现。

1 系统模型及动力学分析

Lai等［17］提出了一个4D混沌系统，该系统具有多种吸引子共存现象，其状态方程为

将系统（1）中第4 个方程的非线性项y2改为yz，取a为15，b为25，c为65，再将第1个方程右边耦合一个一维系统（-dx-y-0.5u），且耦合系数为1，得到一个五维混沌系统描述如下：

其中，x、y、z、w、u是系统状态变量，d、m是系统参数。当参数d=20，m=200 且初始值为（0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）时，该系统的相轨图如图1 所示。在Matlab 软件中采用Wolf 算法［20］编写程序，以0.5 s的间隔计算500 s，得到系统的5个Lyapunov指数分别为5.01、0.34、0.18、0.00、-58.21。在混沌系统中，具有2 个及2 个以上的正Lyapunov指数才能被定义为超混沌系统［21-22］。该系统具有3 个正的Lyapunov 指数，因此是一个超混沌系统。对应地分数维度为4.10。

图1 系统（2）的相轨图Fig.1 Phase portraits of the system（2）

对于系统（2）有

系统的耗散性可以由式（3）判断，若式（3）大于0，系统的相空间体积随着运动不断扩张；若等于0，系统的相空间体积随着运动保持不变；若小于0，系统的相空间体积随着运动不断缩小，此类系统称为耗散系统。由于参数m＞0，故耗散度恒小于0，说明系统（2）是耗散的。

2 多共存现象分析

系统（2）在参数确定的情况下，改变其初始值，存在吸引子共存现象。当取参数m=200，参数d∈［-15.0，-5.0］，系统（2）在初始值分别取（0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）（蓝色），（-0.1，-0.1，-0.1，-0.1，-0.1）（红色），（-0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）（绿色），（0.1，-0.1，0.1，0.1，0.1）（青色）时产生的共存分岔图如图2所示。

图2 在不同初始值下的分岔图Fig.2 Bifurcation diagrams under different initial values

如图2 所示，当初始值取（0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）（蓝色）时，系统在d∈［-15.0，-10.9）时处于周期状态；当d∈［-10.9，-5.0］时，系统处于混沌状态，且当d取值处于-8.6和-6.0附近时出现短暂的周期窗口。当初始值取（-0.1，-0.1，-0.1，-0.1，-0.1）（红色）时，在d∈［-15.0，-11.3）时系统处于周期状态；当d∈［-11.3，-5.0］时，系统处于混沌状态，在此范围还伴随着周期窗口。当初始值取（-0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）（绿色）时，系统在d=-13.2时出现分岔现象进入二周期，d=-8.9时进入四周期状态；系统在d∈［-8.1，-5.0］时进入混沌状态，且d取值在-7.3 和-6.15 附近时会出现短暂的周期窗口。当初始值取（0.1，-0.1，0.1，0.1，0.1）（青色）时，系统在d∈［-15.0，-8.4）时处于周期状态；在d∈［-8.4，-5.0］时进入混沌状态，期间还出现小范围的周期窗口。在不同初始条件下，可以清楚地在共存分岔图上观察到系统由周期经历倍周期分岔进入混沌状态的过程。改变参数d值，系统将产生不同类型的吸引子共存。

当参数d取不同的值，系统（2）在不同初始值下产生的吸引子在x-y平面的相轨图如图3 所示。其中，在图3中玫红色的相轨图是初始值为（-0.1，-0.1，0.1，0.1，0.1）时产生。从图3中可以观察到，当参数d=-18.0，-15.0，-13.0，-11.5时，该系统分别表现为4 个周期1 吸引子共存、两个周期1 吸引子与两个周期2 吸引子共存、4 个周期2 吸引子共存、两个周期2 吸引子与两个周期4 吸引子共存；当参数d=-11.0，-10.0，-9.0，-8.8时，分别表现为两个周期2 吸引子与1 个拟周期吸引子与1 个一涡卷混沌吸引子共存、两个周期2吸引子与两个一涡卷混沌吸引子共存、周期2 吸引子与周期4 吸引子与一涡卷混沌吸引子与拟周期吸引子共存、两个周期4 吸引子与1 个拟周期吸引子与1 个混沌吸引子共存；当d=-8.0，-7.0，-4.0，18.0时，分别为1 个拟周期与3 个一涡卷混沌吸引子共存、4 个一涡卷吸引子共存、一涡卷与两涡卷吸引子共存、2 个两涡卷吸引子共存。由图3中展示的12种吸引子共存类型可知，新系统具有丰富的共存类型。

图3 系统（2）随参数d变化在x-y平面产生的相轨图Fig.3 Phase portraits of system（2）in the x-y plane with different values of d

3 大范围参数超混沌分析

当设置参数d=20.0 及初始值为（0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）时，系统（2）随参数m变化的Lyapunov 指数谱如图4所示，图中的5条不同颜色的曲线分别表示为LE1（玫红色）、LE2（蓝色）、LE3（黑色）、LE4（红色）和LE5（绿色）。图4（a）和4（b）表示的是参数m取［0.1，70］时，系统的Lyapunov指数谱变化情况，从图可以观察到：当参数m小于65时，LE1 ＞LE2 ＞0，故该系统处于具有2个正Lyapunov指数超混沌状态；当m大于65之后，LE1 ＞LE2 ＞LE5 ＞0，该系统处于具有3 个正Lyapunov 指数超混沌状态。图4（c）和4（d）示出了当参数m取［70，4 000］时，系统的Lyapunov 指数谱保持不变且维持3 个正Lyapunov指数的超混沌状态，说明了该系统具有很强的鲁棒性。参数m取［0.1，4 000］时，系统（2）得到的分岔图如图5所示，与Lyapunov指数谱保持一致，进一步佐证了该系统一直保持混沌和超混沌状态。

图4 系统（2）随参数m变化的Lyapunov指数谱Fig.4 Lyapunov exponent spectra of system（2）varying with parameter m

图5 系统（2）随参数m变化的分岔图Fig.5 Bifurcation diagram of system（2）varying with parameter m

4 FPGA实现

数字电路实现不仅资源消耗少且利用率高［23］，因此在本节中，新系统的电路将通过FPGA 实现。为了验证超混沌模型的正确性，设计了超混沌模型的数字振荡器：

式中，p是迭代步长，且迭代步长取0.001。

系统的寄存器传输级（RTL）原理如图6 所示，可以看出，在RTL电路中存在混沌系统模块和CLK模块。混沌系统模块是利用四阶龙格-库塔（RK-4）数值方法实现新型超混沌系统。它使用Verilog HDL进行编码，采用32位定点数格式，由1位符号部分、8位整数部分和23位小数部分组成。CLK 模块为整个电路提供时钟频率。

图6 系统的RTL原理Fig.6 RTL principle of the system

最后，利用Xilinx FPGA ZYNQ-7020 和D/A 转换模块AN9767搭建了5D超混沌系统电路。实验环境如图7 所示。由数字示波器得到的x-y平面相轨图如图8所示。

图7 实验环境Fig.7 Experimental environment

图8 实验结果Fig.8 Experimental results

5 结论

本研究在Lai 氏四维系统的基础构造了一个新的具有大参数范围的多共存超混沌系统。首先对系统进行建模以及动力学分析，得到该系统是一个具有3个正Lyapunov指数的耗散超混沌系统。然后通过共存分岔图和相轨图得到该系统具有周期1、周期2、周期4、拟周期、一涡卷吸引子、双涡卷吸引子等相互共存的情况，共存类型一共有12种。接着分析了该系统在宽的参数范围保持超混沌状态这一特性，并且通过Lyapunov指数谱图可以观察参数m在［70，4 000］的区间上保持Lyapunov 指数不变，说明该系统具有恒Lyapunov 指数特性。最后，通过FPGA 对新系统进行实现，验证了它的电路可实现性。新的超混沌系统具有宽范围的超混沌状态，且电路能实现，在保密领域有着巨大的应用潜力。