新课程下高考中函数概念的易错点剖析

孙明侠

函数的概念在高考中占很大比重，在《2016年普通高等学校招生全国考试大纲》中对函数概念的要求是：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用。理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义。会运用函数图象理解和研究函数的性质。

函数是高考中非常重要的内容，它是高中生数学学习的一条主线，也是高中数学的核心知识，高考数学的大部分内容都与函数有关，都要用到函数思想方法。

尽管高中数学函数的内容和教学方法被不断的完善，但是高中生在函数学习中仍然存在很多困难。因此，笔者通过实地调查，探究高中生在函数学习的过程中在函数概念存在的易错点，并对高中生函数函数概念学习困难的原因进行分析，以帮助数学教育工作者在备考中获取真实的学习情况反馈信息，希望能够帮助函数学习困难学生，使他们在高考中有所收获。

1导言

1.1选题背景

1962年，莱布尼兹（Gottffied Wilhelm Leibniz）首次使用“function”来表示函数（幂）。1755，欧拉（Leonhard Euler）第一次用变量来定义函数，他的函数定义就是初中学习函数的观点，即应用“变化运动”的观点来研究函数。在此之后，数学界对函数概念的定义发生了五次变革。直到康托（GeorgCantor）创立的集合论在被数学界普遍认可后，维布伦（Ve-blen）第一次用“集合”与“对应”的概念为近代函数定义，这就是如今高中函数学习的内容。其中集合的概念使得函数的三要素——对应法则、定义域及值域实现具体化，而且打破了“变量是数”的限制。

函数是近现代的数学的基础，是高中数学学习中最重要，也最复杂的概念。现阶段正处于新课改的实践与探索阶段，高中函数教学研究已成为中学甚至高校数学教育教学的研究重点。

2国内外研究现状

2.1函数的相关研究

关于函数的相关研究方面，笔者发现国内学者分别从函数的概念、三要素等方面进行的相关研究。

朱文芳（1990）在论文中从心理学的角度对高中生函数概念的学习困难做了分析，她分别从概念的形成水平、数学气质类型和数学思维发展水平这三个方面，通过大量分析，得出了结论：学生学好函数的概念的重要性。

邢镯（2013）研究了要求高中学生掌握的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数进行了有限次有理运算，或者将这些函数进行有限次复合，最终得出新函数的过程。他阐述了高考对函数的相关知识的考查范围和要求，本质上都是对函数的概念、图像和性质的考察。

2.2学习困难的相关研究

笔者发现关于函数学习困难研究的文献并不是很多，其中比较有代表性的有下面这些文章：

裴利芳（1995）分别从知识结构、学习的认知加工水平、元认知技能对学习的影响进行有关“学习困难”的研究。主要是对学生的学习困难心理因素从“认知结构的角度”进行分析。

刘兵（2013）根据自己的实际教学经验，分别从学生自身因素、函数本身特征、教师因素三方面对高中生函数学习困难的原因分析做出了归纳。

3研究方法

3.1研究对象

为了保证调查样本的普遍性，本研究选择吉林省长春市的两所具有代表性的高中进行调查，记为学校一和学校二。

4高中生函数概念学习困难分析

4.1总体情况分析

4.1.1高中生函数概念学习困难的整体情况分析

为了了解高中生在函数概念学习过程中存在哪些困难，笔者将学校一和学校二学生在函数的不同知识维度上得分情况统计成表4-1-1：

相对而言，高中生掌握最好的是函数的概念。由于函数概念与函数的定义域和值域本质上是同一个问题，所以学生在这两方面的掌握情况也比较不错。

4.2高中生函数概念学习的主要困难

笔者通过对调查问卷结果分析、学生访谈记录整理以及课堂教学观摩和实践，意识到现阶段高二和高三学生对函数的概念、定义域和值域情况并不乐观，笔者将学生在函数学习中存在学习困难类型总结如下：

4.2.1函数概念的理解和表征困难

函数的概念是高中数学中最重要的概念之一，数学教学之所以强调对函数概念的理解和掌握，主要原因是数学的学习和理解，究其根本是对于概念的理解。笔者通过对调查问卷的分析和整理，总结出学生在函数概念学习中主要存在以下两类学习困难：

4.2.1.1函数的概念记忆困难

高中阶段要求分为记忆和理解两个阶段来学习函数概念，之所以强调函数概念记忆的准确性，是因为高中对于函数概念的定义与学生在初中学习到的定义有所不同。初中是用“运动变化”的观点来定义函数，即“在某个变化过程中，有两个变量x，y，如果给x一个值，就有唯一的y与它相对应”，而高中是从“集合与对应”的角度定义函数的。学生是否能够接受函数新的定义方式是笔者调查的主要目的。通过对学生调查问卷的分析，笔者发现大部分同学虽然无法将函数概念准确的表述出来，但是很多学生能够从对应的角度理解函数的概念：

【问题1】函数的概念

这类学生是从集合的角度来描述函数的概念的，他们对函数概念的理解比较准确，表述过程也相对完整。

但是部分同学对于函数的定义来源并不明确，比如通过对下面这名同学的理解过程可以看出，部分学生对于函数概念的理解过于表面化。定义域是指函数中自变量的范围，而在函数定义中还没有明确自变量，因此更无从谈及定义域，解答过程如下所示：学生的得分情况：

有的学生对函数概念的理解还限于初中的理解水平，仍然将函数的定义理解为变量与变量的相应关系：

对于产生这类学习困难的学生，教师应该明确指出高中函数的理解角度，否则他们将很难理解函数的意义，并无法在日后的学习中触类旁通。

4.2.1.2函数概念的理解困难

对于数学知识，尤其是函数知识，学生仅仅可以对函数的相关知识进行复述是远远不够的，要想完全理解函数的概念，还需要在不同的函数表征方式中正确辨析，见本调查中的问题2：

【问题2】以下问题中哪些表示y是关于x的函数

本题要求学生判断以上表征中是否是函数，在这10个小题中，涉及到的函数表征方式有图像、表格和解析式。学生的判断依据是函数的概念，即有关函数概念程序性知识的应用。从学生的得分情况可以看出，学生在他们常见的（2）、（4）、（5）三类函数中不存在辨析困难，得分率均达到100%；对于（3）、（6）、（7）三类函数只有部分学生出现辨析错误，但是得分率也在95%以上；比较值得注意的是（1）、（8）、（9）、（10），这些题学生由于没有抓住函数概念中“任意x都有唯一y与之相对应”这一精髓，所以出现了判断错误。

4.2.2函数定义域的优先考虑困难

在本调查中，尽管有些题目不是直接考察函数的定义域，但是笔者发现学生出现错误的原因却出于对函数定义域的优先原则考虑不周。笔者将学生在解题中出现这类错误的题目总结在一起，并统计了每道题的正确率，以方便通过学生的答题结果分析比较，具体见下表：

4.2.2.1定义域

函数的定义域作为函数的三个基本属性之一，是很多问题的研究基础，因此学生能否准确掌握函数的定义域求法是高中函数的必考问题之一。

本题正确人数410人，正确率为72.44%。从调查结果来看，学生对于函数定义域的掌握还有待加强。笔者将学生出现的各种错误进行了归类和总结，具体有以下两种：

其中一部分同学虽然懂得对自变量的某些限制加以分析，明确被开数必须是非负数，但却没有注意到被开方数同时作为分式的分子，因此也就出现了这样的错误：

另外一部分同学不仅出现了上述错误，还由于审题不仔细而没有注意到题目中要求将答案用区间表示：

综合以上，可以发现函数定义域的相应考点对学生来说并不陌生，只是在具体解题时学生容易顾此失彼，或者没有按照题目的要求作答。

4.2.2.2求值域

函数的三个基本属性包括函数的定义域、对应法则和函数的值域。其中定义域是求函数值域的基础，但是笔者通过研究调查问卷发现学生在求函数值域时常常忽略对定义域的考察。本研究中问题4就反映了这一现象：

本题考察的是求函数的值域，正确人数336人，正确率为59.36%。笔者发现高二和高三学生对于函数值域的掌握情况比较乐观，学生关于本题的求法有以下两种，一类是通过直接判断函数的单调性来求函数的值域。另一类学生利用导函数的相关知识，结合导函数的正负判断函数的单调性和最值，从而得出函数的值域：

尽管大部分同学都掌握了函数值域的求法，但是本题的得分率依旧不高的原因是学生忽略了对函数定义域的考察：这类学生的解题思路完全正确，但是由于定义域的求解错误导致值域的解题困难，所以函数定义域的优先考虑尤为重要。

4.2.2.3图像

本题的正确人数为490人，正确率是86.57%本题学生有两种解法，一种是现根据原函数写出反函数的表达式，然后代值：

还有一种解法是直接将原函数与反函数的x和y值对调：

这两种解题思路都是正确的，相比之下不难看出，应用反函数的定义域与原函数值域的关系更利于解题。

4.3高中生函数概念学习困难成因分析

4.3.1初高中衔接问题

对于函数部分的知识高中学生并不陌生，学生在初中就已经对函数知识有简单的了解，相当一部分同学在访谈中还表示他们初中阶段对函数的理解掌握得还算不错，但是到了高中就意识到初高中函数内容衔接问题成为这部分学习的一道鸿沟。调查结果显示，初高中衔接问题是学生函数学习困难的首要因素。初中函数的相关知识简单易懂，而高中函数立足于一个新的起点。就二次函数而言，它初中函数中属于最难的知识，但在高中却作为最基本、最典型的函数类型来研究，对于函数定义域、值域、单调性等许多抽象的相关概念需要借助二次函数来完成，这对于刚刚接触高中数学的学生来说是一个不小的跨度。关于初高中衔接的问题，以函数概念为例，有以下三点区别：（1）定义方式不同。从初中运动变化的观点下传统的函数概念，到高中函数是以集合与对应观点定义的近代概念。（2）函数概念理解的跳跃性。初中阶段，教师对“变量”的解释是“变化的量”，这样解释仅仅停留在概念的表面。（3）对于学生已有的认知水平的一个挑战是用集合、对应的观点去理解函数关系，此时的学生尚未从初中的学习思维中跳出来，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。

4.3.2高中学生思维发展水平的局限性

笔者通过对受访学生的个人访谈得知函数的学习困难与高中学生思维发展水平有关。原因之一是学生的思维发展水平还没有从具体形象思维过渡到抽象逻辑思维。高中数学课程要求学生的思维集中于抽象逻辑思维活动空间，但是对于更多的学生而言，学生只能对于抽象逻辑思维活动的训练尚未成熟，他们更大程度上仍然需要依赖具体形象的材料来理解抽象的逻辑关系。这就造成了学生思维发展水平相对于应用范围略显滞后的结果。

除此之外，学生要想学好高中函数，必须掌握的技能就是把动态的函数演变过程转化为静态的独立对象，对学生的辩证思维水平要求较高。高中对学生的思维发展水平要求的是从具体形象思维逐步过渡到抽象逻辑思维，在这样的思维过渡阶段，学生的辩证思维很难达到一个新的跨越。不过，在函数学习过程中具有这样不可替代的困难性和思维上的跳跃性，才使它成为高中生数学学习中不可替代的部分，也成为训练学生逻辑抽象思维和辩证思维的最佳训练工具。

函数概念是高考中考察的重点内容，通过对高中生在学习的过程中，函数概念存在的易错点剖析，以帮助数学教育工作者在备考中获取真实的学习情况反馈信息，希望能够帮助函数学习困难的学生在高考中有所收获。