“方程的根与函数的零点”（高三二轮复习）

潘淑淑（浙江省永嘉中学）

“方程的根与函数的零点”（高三二轮复习）

潘淑淑
（浙江省永嘉中学）

一、教材分析

“方程的根与函数的零点”是人教版A版必修1第三章“函数的应用”第一节内容，主要内容是函数零点的概念、函数的零点与相应方程根的关系、函数零点的存在性定理，函数零点个数的判定。本课揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系是函数与方程思想的理论基础。

二、学情分析

学生已经学习了函数的图象和性质，会画简单函数的图象，会通过图象研究、理解函数的性质，这为学生理解函数的零点提供了帮助。

三、教学目标

1.了解函数零点的概念，理解函数零点与方程根的联系，掌握零点存在的判定方法，能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间。

2.体会函数与方程思想，数形结合思想，转化与化规思想。

四、教学重点和难点

1.教学重点：了解函数的零点概念，掌握函数零点的存在性定理。

2.教学难点：准确理解零点的存在性定理。

五、课堂实录

问：求函数f（x）的零点。

生1：x=0或x=2

师：我们复习一下函数的零点。

生2：对于函数y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的实数x叫做函数y=f（x）的零点。于是得到以下等价关系：函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根，就是函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标。

意图：复习零点的概念，由函数零点的概念得出三个等价关系。

师：讨论函数y=f（x）-a的零点个数。

当a=1时，函数y=f（x）-a有一个零点1；

当a＞1时，函数y=f（x）-a没有零点；

当a＜1时，函数y=f（x）-a有两个零点2-a和a。

生4：（数形结合）作出y=f（x）和y=a的图象，讨论这两个图象的交点个数，结论同上。

师：总结一下判断函数零点个数的方法。

意图：理解函数零点的定义；求函数零点的个数问题可以转化为两个函数图象的交点个数问题；体会整体思想和转化思想。

师：变式2：求函数y=f（x）·logx2-1的零点个数。

生6：令y=f（x）·logx2-1=0，得令f（x）=log2x，其中x＞0且x≠1作出y=f（x）和y=log2x，其中x＞0且x≠1的图象，发现这两个图象只有一个交点，故函数y=f（x）·logx2-1只有1个零点。

师：证明关于x的方程f（x）=log2x，（其中x＞0且x≠1）只有一个根。

生7：令

当0＜x＜1时，log2x＜0，此时g（x）＞0，∴y=g（x）在（0，1）没有零点；

当x＞1时，y=g（x）在（1，+∞）上单调递减，又g（1）=1＞0，

g（2）=-1＜0，由零点的存在性定理知y=g（x）在（1，+∞）上只有1个零点。

∴y=g（x）在（0，+∞）上只有1个零点，结论得证。

意图：复习零点的存在性定理；求零点个数问题转化函数图象交点个数问题。

师：变式3：对任意的t∈［2，4］时，关于x的方程f（x）= log2t+a总有两个不同的实根，求实数a的范围。

生8：转化为函数值域之间的包含关系。

当t∈［2，4］时，log2t+a∈［1+a，2+a］，∴2+a＜1∴a＜-1

练习：已知函数g（x）是定义在R上的奇函

意图：使学生对方程的根与函数的零点相关问题有进一步的认识，培养其独立思考和自主探索的习惯。

总结：知识和思想方法。

意图：使学生对所学的知识有比较全面的认识，有利于学生知识网络的构建，在培养概括能力的同时，也能对课堂的教学效果进行反馈。

六、教后反思

本节课借助这一道题，复习了“方程的根与函数的零点”的所有内容。内容设计层次深入，分段进行，又环环相扣，使学生在接受知识、探究问题的过程中能有一个逐步积累深入、螺旋上升的发展。借助这一道题把本节课的重点知识进行复习，尤其是对零点的存在性定理的应用比较灵活。本节课还注重思想方法的渗透，如函数与方程思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想等多种思想方法。

浙江省特级教师议课：

本节课内容设计由浅入深，课堂对话非常真实。课堂的主体意识很强，给学生足够的思考时间，学生积极参与课堂，让学习指导课堂，而不是让老师指导课堂。能把握本节课的重点：求函数的零点，判断函数零点的个数，把求函数的零点个数问题转化为求两个函数图象的交点问题，存在性定理的灵活应用。注重提炼学习方法，变式教学，练高考题。

·编辑杨国蓉