算法多样化及其效果的实证研究

安 茜 卢盛华 吴念阳

（上海师范大学教育学院，上海 200234）

一、问题的提出

算法（algorithm）是一个古老的数学概念。在我国，很早既已出现，如11世纪贾宪所著的《黄帝九章算法西草》与杨辉所著的《详解九章算法》中，就涉及算法。美国《数学的原理与实践》中把算法定义为解决问题的程序步骤的一个概要说明，这一程序步骤必须具有确定性、有效性和有限性。［1］

算法多样化，是这样的一种教学方式，它鼓励学生用多种策略解决问题，允许多种算法的存在，让学生根据自己的认知结构去发现算法，与同伴交流算法，教师引导学生进行算法的分析、归纳和比较。算法多样化的教学目的不是为了追求算法多样化，而是通过这一教学方式，激发学生的学习积极性，尊重个体差异，让学生在已有的知识、经验中，独立思考、积极探索。［2］

算法的多样化可以激发学生思考和归类算法，对问题解决策略进行提炼，从而达到对算法背后必然性的理解。［3］有研究者从具体的课堂片段分析中在理论层面探讨算法多样化的效果。陈丽丹通过分析算法多样化教法之下的一年级20以内退位减法的课堂片段，指出算法多样化教学的效果在于促进学生的个性化学习，不同算法展示了学生不同的认知个性和发展水平。［4］也有研究者通过教学对比实验来分析算法多样化的效果。苏子东针对“20以内进位加法”教学内容，对两个班用了算法多样化教学和算法单一化的教学，对两种教法之下的学生在课堂上的积极性和课堂气氛做了描述性的比较，算法多样化教学课堂上的学生表现更为主动，课堂气氛更为活跃。［5］王桂华对算法多样化不同处理方式下的学习效果进行了比较，发现算法多样化教学能使学生掌握更多的算法。［6］

从上述的研究中可以看到，目前国内对算法多样化效果的研究多集中于对某一或某几个教学片段是否符合算法多样化教学的要求来进行评判和反思，虽也有为数不多的研究通过对比教学来考查算法多样化的效果，但只是做了粗略的比较。

数学观体现在具体的数学学习之中，对已掌握的算法是否能透彻地理解其算理，可判断学生数学观是积极的还是消极的。积极的数学观关联着对相应算理的透彻理解,两者是相辅相成的,本研究将把两个方面结合起来进行考察。

算法多样化的教学效果究竟怎样呢？这种教学方式是否能改变小学生接受式的数学学习方式呢？它给学生的数学观带来怎样的影响呢？为了更有效地考察算法多样化的效果，本研究将就“常规教法”与“算法多样化”进行教学对比实验。

二、研究方法

（一）被试

分别在一年级和三年级各选取在期中考试成绩上没有显著差异的两个班级。一年级的两个班级均已经掌握20以内的进位加法，人数分别为33、32，男女性别基本平衡；三年级的两个班级的人数分别为34、36，男女性别基本平衡。要探讨两种教法对小学生数学学习的影响，应该在小学各年级抽取被试。但限于精力与时间，本研究只选取了一、三年级的被试。

（二）材料

1.不同教学方式之后使用的即时笔试测验材料。

2.延时一周后用来做数学观访谈的材料。

（1）一年级访谈材料

一年级访谈的具体内容为20以内的退位减法。首先呈现如图1所示的12根小棒，要求被试从图中的12根小棒中划掉5根，在被试完成这项任务后，主试出示与前面相同的图，主试应用和被试不同的拿法划掉5根小棒之后询问被试：不同拿法结果却一样的原因是什么。

图1

（2）三年级访谈材料

三年级的访谈内容为平均数的求解。首先呈现题卡（如图2），要求被试求出他们三人平均有几颗糖果，然后主试在准备好的卡片中选出被试求解的方法之后，主试展示用和被试不同求解平均数的方法，询问被试不同算法结果却一样的原因。

求解平均数的题卡：

图2

准备的求解平均数方法展示的卡片如图3、图4所示：

方法一

图3

方法二

图4

（三）程序

1.实验处理

（1）常规教法

针对一年级的被试，首先通过习题对20以内的进位加法进行复习，然后教师通过具体的问题情境引出退位减法，用十几根短棒（其中十根用皮筋扎在一起）为被试演示“破十法”，然后让被试通过自己动手摆小棒来体验“破十法”。在被试基本学会用“破十法”来计算退位减法之后，教师让被试完成一组退位减法的任务。

对于三年级的被试，教师通过对生活中平均数的解释来为被试讲解平均数的基本概念，之后通过各种实例来讲解通过“先合后分”的方法求解平均数。在被试基本掌握求平均数的方法之后，教师给被试布置一组求平均数的练习。

（2）算法多样化

在算法多样化教学中，教师并不直接为被试讲解退位减法的算法（或求解平均数的算法），而是鼓励被试首先独自思考，然后进行小组内部讨论，让每个小组至少派一位被试对所在小组内部的算法进行分享，接着教师引导被试对班级中出现的不同算法进行归纳，师生共同评价归纳出来的算法。然后，教师让被试进行所学内容的练习。

2.后测

在用不同的教法干预之后，对被试进行限时笔试测试。在进行不同教法干预一周后，对两个年级的四个班级的学生以具体的数学任务为依托，进行关于数学观的访谈。

三、结果与分析

（一）解题情况

不同教法之下，一年级的两个班级和三年级的两个班级的即时后测成绩的基本情况如表1和表2所示。

表1 一年级两个班级即时后测成绩及差异检验

表2 三年级两个班级即时后测成绩及差异检验

由表1和表2可见，在常规教法和算法多样化之下，一年级和三年级的后测成绩均较好。一年级的两个不同教法之下的班级在测试成绩上的差异不显著（p＞0.05），三年级的两个不同教法之下的班级在测试成绩上也没有显著差异（p＞0.05）。由此可见，尽管教学方式不一样，但对于一年级和三年级的被试而言，在相同的时间内被试在计算题目正确率上不存在显著差异。

（二）各组被试在数学观的访谈中的表现

在常规教法和算法多样化教学方式之下，一年级和三年级被试在访谈中的表现分别如表3和表4所示。

表3 不同教法下一年级被试在访谈中的表现

由表3可知，在接受算法多样化教学的一年级被试中，有17人能够解释算法不同而结果相同，16人不能解释算法不同而结果相同。而在接受常规教法的被试中，只有7人能够解释算法不同而结果相同，25人不能解释算法不同而结果相同。

表4 不同教法下三年级被试在访谈中的表现

由表4可知，在接受算法多样化教学的三年级被试中，有14人能够解释算法不同而结果相同，20人不能解释算法不同而结果相同。而在接受常规教法的被试中，只有6人能够解释算法不同而结果相同，30人不能解释算法不同而结果相同。

将两种教学方式之下被试能够解释算法不同而结果相同的人数做χ2检验，结果见表5。χ2检验的结果表明，一年级和三年级被试在两种教学方式之下能够解释算法不同而结果相同的人数都存在显著差异，可见，对不同算法背后的必然性的理解方面，算法多样化教学要比常规算法教学的效果更好。

表5 不同教法之下被试达到“能解释”的人数及差异检验

四、结论

从不同算法教学方式之后的即时测验成绩可看出，在20以内退位减法和求解平均数的教学中，不管是算法多样化教学还是常规算法教学都能使学生掌握基本的算法技能。

在算法多样化教学和常规教法之下能够解释算法不同而结果相同被试的人数有差异显著，学生把算法看作是一种必然性还是符号的集合受到教学方式的很大影响。在对不同算法背后的算理的理解上，算法多样化教学效果显著好于常规算法教学。在算法多样化教学中，教师放手让学生去发现、构建算法，即使有的学生的算法是繁琐的，在教师眼中甚至是拙劣的，这些并不妨碍学生的独立思考。在不同算法的交流中，学生可以通过同化和顺应他人的算法来对不同算法有更为深刻和全面的理解。在教师引导之下对不同算法进行归类和评价的过程中，学生对不同算法又有了更深层次的理解。而在常规算法教学中，学生接受到的是由教师传递而来的现成的算法，对数学的学习更多的是接受和模仿，限制了学生独立思考，对不同算法的理解更多的是止于符号。因此，只有给学生足够的空间让学生去发现，去再创造算法，才能使其真正领会数学是思维的体操。