经历建模过程 感悟模型思想——以“乘法分配律”教学为例

林丽玲

（平潭城北小学，福建 平潭 350400）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”笔者认为，模型思想的感悟，必然是在建构数学模型、应用数学模型的过程中实现的。文章以“乘法分配律”教学为例，谈谈如何在课堂教学中引导学生经历数学建模过程，感悟模型思想。

一、观察分析，感知模型

模型的建构依赖于一定的现实情境，要想使学生有效建构数学模型，首先要创设出符合学生实际的生活情境，然后引导学生通过观察、分析，从生活原型中提炼出数学问题，并在初步感知模型的基础上，逐步向建构模型过渡。

如笔者在教学时，针对下面一张统计表的信息内容（表1），让学生根据表中信息提出数学问题。教师把学生所提的问题板书在黑板上：①买转笔刀一共用了多少钱？②买文具盒一共用了多少钱？③买魔方一共用了多少钱？然后学生选择其中一个问题用不同的方法列出综合算式并解答，然后汇报交流。

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从课堂上学生解答上述3个问题的模式看基本是相同的。如第一个问题，学生第一种算法列式为（7+3）×8=80，先算出两次一共买了10个转笔刀后，再算10个转笔刀的总价；第二种算法，分别算出第一次与第二次买的转笔刀的价钱后，再加起来就是10个转笔刀的总价钱，列式为7×8+3×8=80。第二个问题和第三个问题的解答方法与解答第一个问题的思路是一致的，学生列出的算式分别是：（8+5）×5=65，8×5+5×5=65；（10+9）×4=76，10×4+9×4=76。

教师根据学生的交流适时板书算式，并引导学生对黑板上的这些算式进行分类。学生把这些算式分成了两类，然后观察这两类算式的区别与联系，此时乘法分配律的特征已经初步呈现。教师进一步质疑：“结果相等的两个算式在数学上可否用等号将它们连接起来，形成一个等式呢？”通过质疑继续引导学生观察黑板上的这些等式，导向从乘法的意义上探索左右相等的秘密,将新知识纳入到原有的知识体系之中，初步感知乘法分配律这一数学模型。这样充满观察、分析的探究过程，才是数学建模教学背景下应有的学习过程。

二、抽象概括，建立模型

学生对模型的建构是需要一定的过程，如果仅仅凭借之前的三个等式来进行乘法分配律的概括，那么学生的感性积淀就会显得有些单薄，学生对该模型的理解还不够深刻。因此，需要教师提供更多有效的学习活动为学生的感悟“造势”。

教师指着黑板上的等式说：“同学们，像这样的等式还有吗？请你试着写出一个来。”学生写等式，汇报交流，并相互检查：“左边是几个几？右边有几个几？等式成立吗？”通过交流让学生感受到这样的等式永远也写不完。教师问：“你能不能想办法写出一个等式来表示出所有的等式？”学生尝试写式子并交流多样化的表示方法，教师先是肯定学生的成果。但学生所交流的方法都难以达到教师所提的要求：用一个等式来表示所有的等式。这时学生的思维陷入“盲区”，所谓的“盲区”即学生不能抛开现实的模型去构建一个新的模型。于是，教师适时启智：“老师给你们a、b、c三个字母（这里的a、b、c是三个实数），你们能用数学符号的连结，表示出一个等式来吗？”这样拨通学生思维障碍的通道，学生很快就用（a+b）×c=a×c+b×c来表示。教师总结：“这就是今天发现的一个运算定律——乘法分配律，乘法分配律告诉我们：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。”

数学模型的主要表现形式是数学符号的表达式和图表。在上面教学片段中，当学生对乘法分配律的表象有一点感知时，教师放手让学生仿写等式，既丰富了学生的感性认识，同时也为后续的抽象概括增加逻辑上的力度。在此基础上，教师顺势而为，继续引导学生用自己实验的方式表征发现的规律，学生用字母、图形、汉字等符号将乘法分配律表示出来。这个逐步抽象的过程，既是让学生尝试数学建模的过程，也是数学符号化思想具体应用的过程，它所渗透的数学思想是递进性，也富有创新性，如果教师的教学流程设计只是让学生模仿，学生的思维就无法跳跃。于是在这个过程中，当学生对乘法分配律有了更进一步的理解，再通过建模，学生的数学抽象思维能力就得到了提升。

三、拓展联系，应用模型

从具体的问题抽象、概括出相应的数学模型，并不是学生认识的终结。在建立数学模型之后，教师要及时组织学生应用已确立的模型解决具体的问题，通过沟通联系、拓展延伸，进一步巩固、内化学生的认知，深刻理解乘法分配律，为今后正确、灵活地运用乘法分配律这一数学模型打下扎实的基础，也为后续学习其他相关数学知识做好铺垫，达到真正发展学生的学习能力。

教师在巩固已学知识，拓展思维的设计上，也遵循层层递进的原则，依次出示了以下练习：

1.在（）里填上合适的数。

①(10+7)×6=（ ）×6+（ ）×6

②8×996+8×（ ）=8× ( + )

③（）×（）+（）×（）=（ + ）×（ ）

2.你能在图2中找到乘法分配律吗？

图2

3.下面的算式哪些运用了乘法分配律？

①11×72+11×28=11×（72+28）

②(10+4)×25=14×25

③48×8×7=48×（8×7）

④5×a+a=（5+1）×a

4.解决问题：学校操场是一个长方形，原来长78米，宽30米，扩建后，宽不变，长增加了18米，增加的面积比原来的面积少多少平方米？

这里的4个练习代表了四个不同的思维层次：练习1，通过不完全填空的形式，从正、反两个方面加强对乘法分配律结构的记忆与掌握。练习2，通过在“口算12×3”和“笔算12×3”中寻找乘法分配律的过程，唤醒学生的已有经验，把新知的学习与旧知建立联系，巩固了乘法分配律的算理和算法，有效进行知识的同化和顺应。练习3，借助4个算式检验学生对于乘法分配律的认知图式是否达到了一个平衡的状态，帮助学生进一步理解乘法分配律的含义及其与乘法结合律的结构区别，将乘法分配律纳入到整个运算定律的体系。练习4，先动笔计算再观察比较，发现乘法分配律同样适用于两个数的差，即（a-b）×c=a×c-b×c（a、b、c不等于0），拓宽了学生对乘法分配律的理解，把学生的思维引向更广阔的空间。

数学模型建立过程的本质是数学思维活动的过程。在教学中，教师要准确地诊断出学生建模过程的难点与困惑，通过设计合理有效的数学活动，激发学生产生研究数学建模的兴趣，经历数学建模的整个过程，提高数学建模的能力，感悟模型思想。