神奇的常数e

e是一个无理数，是自然对数的底，e=2.71828……。e的“影响力”还不限于数学领域。大自然中向日葵的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都与e有关，建构音阶也要用到e，还有圣路易斯大拱门的外形都与神秘的数字e，有着千丝万缕的联系。e的背后隐藏着无数鲜为人知的传奇，在數学、物理、生物、音乐、金融等众多领域中都有与e密切相关的现象。

1.欧拉恒等式与e

但凡说起e，一个必定要提到的公式就是欧拉恒等式——被誉为世界上最美丽的公式。

数学中最基本的5个常数——0、1、圆周率π、自然对数的底e和虚数单位i，以及数学中最基本的两个符号，等号和加号，就这样通过一个简单的恒等式联系在了一起，实在是让人叹服。这个等式有个一几何的直观解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示，旋转这个向量，就相当于乘以一个虚数i。据此建立一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转π/2，可以分别得到结果1，i，-1，-i，1. 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到的向量就是：cosθ+isinθ。根据欧拉公式 可以看出 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。所以 意味着单位向量逆时针旋转了π，结果显然是-1。

2.增长规律与e

这个世界上有许许多多的事物满足这样的变化规律：增长率正比于变量自身的大小。例如放射性元素衰变的时候，衰变率就和现存的放射性物质多少成正比;资源无穷多的社会，人口出生率（近似的）和现存人口数成正比等等。而此类变化规律所确定的解，则是由以e为底的指数增长所描述的。如果x的变化率等于变量x自身的λ倍，那么该变量随时间t的函数则为

其中C是任意常数。

到底什么是e？简单地说，e就是增长的极限。看下面的例子：

某种类的一群细胞生物每24小时全部分裂一次，在不考虑死亡与变异等情况下，这群单细胞生物的总数每天会增加一倍。增量公式为：Y=2x，x表示天数。

这个公式可改写为：y=（1+100%）x。其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内（24小时）的增长率。

根据细胞生物学，每过12小时，也就是进行到一半的时候，平均会新产生原数量的新细胞，新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。因此一天24小时可以分成两个阶段，每一个阶段的细胞数量都在一个阶段的基础上增长50%;

y=（1+100%/2）2=2.25，即在一个单位时间内，这些细胞的数量一共可以增至原数量的2.25倍。倘若这些细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞，新生细胞立即具备独立分裂能力，那就可以将1天分成3个阶段，在一天内时间细胞的总数会增至为：

y=（1+100%/3）3=2.37037，即最后细胞数扩大为2.37倍。

实际上，这种分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即和母体一样继续分裂，一个单位时间（24小时）最多可以得到多少个细胞呢？答案是：y=lim（1+100%/n）n=2.718281828…

即当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。数学家把这个数称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限。这个值是自然增长的极限，是自然律的精髓所在，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。

3.正态分布与e

正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个统计模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布，尽管这些现象的根本原因经常是未知的。而理论上则可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量X，那么这个变量X服从正态分布：

正态分布在生活中也可谓是无处不在。多次反复测量一个物理量，测出来的值一般来说总是呈正态分布;瓶装可乐的实际体积，也是正态分布;一大群人的寿命分布、智商分布等，也都是正态分布，而正态分布的表达式中，也神奇的出现了e。

4.伽马函数及斯特林公式与e

阶乘运算n！本来是定义在正整数上的。数学家最爱做的事情就是推广，因此阶乘函数自然不能幸免。当把阶乘函数推广到定义域为复数的时候，我们要寻找的函数就是一条通过了所有（n+1，n！）点的函数。所谓的伽马函数Γ（z）满足了这个性质，而伽马函数的表达式中又出现了e：

阶乘n！与e还有另一层神秘的联系。当n趋于无穷大的时候，n！满足下面的近似关系式——斯特林公式：

（其中“～”符号表示同阶，可以大致认为是n趋于无穷大时的约等于）

要计算很大的阶乘值，位数受限而不能直接用计算机求出时，就可以用斯特林公式近似求出了。

5.素数与e

素数是指除了1和它本身之外，无法被其他自然数整除的数，如100以内的素数共有25个。素数看似和e毫无联系，可是，素数分布的理论指出，素数的分布与e息息相关。

6.自然界中的

鹦鹉螺壳，向日葵的种子，螺线星云等的形状类似于 —对数螺线的曲线形状。如菊的种子排列成对数螺线，鹰以对数螺线的方式接近它们的猎物，昆虫以对数螺线的方式接近光源，蜘蛛网的构造与对数螺线相似，旋涡星系的旋臂差不多是对数螺线。

7. 黄金分割与e

外切于对数螺线的矩形，是黄金矩形。长：宽=1.618。对黄金矩形依次舍去所做的正方形，可得到不断缩小的黄金矩形序列。正方形中的1/4圆弧就构成了对数螺线。

8. 悬链线

悬链线的方程是：

世界著名的标志性建筑物——密苏里的圣路易斯大拱门就是悬链线形状。即以 的图形的理念设计的。

E就这样一次次如幽灵般恰当的出现在了每一处，时常给人们带来惊喜。而上述这些，也只不过是它的冰山一角而已。

作者简介：张大庆（1974.4），男，辽宁鞍山人，博士，教授，主要从事模糊控制、鲁棒控制、广义系统理论与应用方面的研究。