指数函数与对数函数易错点剖析

■郑 欣

易错点1:利用分段函数的单调性时,忽略分段点

例 1 已 知 函 数f(x) =若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )。

A.(0,1) B.(2,3]

C.(1,2) D.(2,+∞)

错解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1在(-∞,1]上为增函数,则a-2>0,解得a>2;函数y=logax在(1,+∞)上为增函数,则a>1。综上所述,a>2。应选D。

剖析:分段函数在R 上单调递增,在每一段都是递增的,在分段点处也是递增的。

正解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1在(-∞,1]上为增函数,则a-2>0,解得a>2;函数y=logax在(1,+∞)上为增函数,则a>1。

在分段点x=1处,由a-3≤loga1=0,解得a≤3。

综上所述,实数a的取值范围是(2,3]。应选B。

易错点2:求单调区间时,忽略函数的定义域

例2函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单调递增区间是( )。

A.(-∞,-2) B.(-∞,1)

C.(1,+∞) D.(4,+∞)

错解:因为内层函数u=x2-2x-8 在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,外层函数y=lgu为增函数,所以复合函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单调递增区间为(1,+∞)。应选C。

剖析:求函数的单调性往往容易忽略定义域。要使函数f(x)=lg(x2-2x-8)有意义,需要x2-2x-8>0,在优先考虑定义域的前提下,才能讨论函数f(x)=lg(x2-2x-8)单调性。

正解:对于函数f(x)=lg(x2-2x-8),由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,所以函数f(x)=lg(x2-2x-8)的定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞)。

内层函数u=x2-2x-8在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(4,+∞)上单调递增,外层函数y=lgu为增函数,结合复合函数的单调性,可得函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞)。应选D。

A.(-∞,2] B.[2,+∞)

C.[2,6] D.[-2,2]