在高等代数课堂上培养本科生的科研思维*

唐黎明 穆强

（哈尔滨师范大学数学科学学院）

一、本科生科研思维的培养

2018 年9 月，教育部发布的《教育部关于加快建设高水平本科教育全面提高人才培养能力的意见》指出，推动国家级、省部级科研基地向本科生开放，为本科生参与科研创造条件，推动学生早进课题、早进实验室、早进团队，将最新科研成果及时转化为教育教学内容，以高水平科学研究支撑高质量本科人才培养。鉴于国家对本科生参与科研重视的大背景，结合教学中对于本科生的培养经验，认为在高等代数课堂上对本科生科研思维的引导和启发是教学过程中的目标之一，是高等代数课程的升华。对本科生科研思维的培养与渗透，不仅是为后续代数课程铺垫基础，而且也是本硕博一体化培养模式的基点。2022 年2 月召开的中央全面深化改革委员会第二十四次会议审议通过的《关于加强基础学科人才培养的意见》，也强调实施基础学科专业、课程、教材、实践条件等专项建设行动。提出积极探索拔尖创新人才早期发现和选拔培养机制，加大强基计划实施力度，支持实施本硕博一体化人才培养改革。这实际已经表明培养科研人才需从小做起。本科生作为中学生和硕士生之间的过渡，对其科研思维的培养是国家政策的要求，也是本科教育环节中必不可少的措施。高等代数课程是师范大学与综合性大学数学专业的主干课程，是后继各门课程乃至数学研究与应用的基础。高等代数以行列式、线性方程组以及矩阵等基本理论为基础，继而研究线性空间以及线性变换的基本理论，具有高度的抽象性、概括性以及普适性等特征，其完整的知识体系及其所蕴含的数学思想方法，对于培养学生高度的概括能力、严谨的推理能力、准确的表达能力以及透彻的理解能力，具有极为重要的意义。国内外培养本科生科研思维方面的研究有很多，[1-6]本文着重从高等代数课堂角度，从本科生课堂开始，结合高等代数这门课程的特点，即：高等代数课堂大视野研究问题的角度、抽象的知识体系等，去探讨在高等代数课堂上结合高等代数知识本身的特点，在授课中如何潜移默化地培养本科生的科研思维。本科生科研思维的培养是本硕博一体化培养的坚实基础，是为高精尖数学人才培育幼苗，是本硕博一体化培养模式的关键环节。

二、高等代数课程的特点

高等代数作为师范院校或综合类院校数学专业的主干课，其学科特点对于培养学生的抽象思维能力具有重要的作用，经过多年的高等代数教学以及代数方向研究生的培养，总结出高等代数教学过程中，尤其是在课堂上去启发和引导学生的代数思维，应该结合高等代数学科的以下特点：

第一，高等代数学科强调大视野地研究问题的本质。普适性的基本理论及其独特的数学思想方法是高等代数课程的主色调，例如，线性方程组理论旨在给出任意线性方程组有解的充分必要条件，判定线性方程组何时有解，以及在有解情况下解的构成。主要思想是将线性方程组求解问题转化为矩阵的变换问题，主要手段为矩阵的初等变换，主要核心概念为矩阵的秩。在教授与学习的实践中，本质为掌握线性方程组的基本理论及其求解思想方法的框架，而代数计算、矩阵技巧、实际应用等，虽然是重要的，但不是这门课程的后续应用课程的培养方向。

第二，高等代数主要通过化无限为有限、化具体的对象为抽象，宏观地研究问题，基于公理化定义的逻辑推理是高等代数课程的主旋律。例如，向量空间的丰富理论完全是从它的公理化定义出发，通过逻辑推理建立起来的，其系统的结构体系就像一棵参天大树，而向量空间的公理化定义就是这棵大树的根基。尽管向量空间是通常具体的几何空间推广，人们可以类比几何直观去思考问题，但建立向量空间理论所依逻辑推理仅基于公理化定义而独立于通常几何空间。在教授与学习的实践中，既要培养从客观共性中抽象出普适性结论的能力，将具体问题放到更为一般的框架内予以解决，也要培养在公理化体系内进行逻辑推理，再把抽象转化为具体的灵活运用能力。

第三，严谨的逻辑推理能力与准确的表达能力是学好高等代数课程的必备基础，该方面能力在后续课程学习中应仍得以继续提升。在教授与学习的实践中，对一个定理、命题或论断，力求首先在大脑中达成证明思路框架，始终保持思路透明清晰，然后再写出逻辑推理证明过程并予以推敲润色，即所谓“先有想法，再做出来”。就像围棋手谈，招法步数已然成竹在胸，方能子落棋盘、行云流水、一气呵成。读高等代数书也要从厚到薄，学习之后知识体系在大脑中犹如一棵思维树，对于重要的命题心中要有例子，表达时同时采用多种方式，如字母公式表达、纯文字表达、图示表达等，多方位理解知识，提升逻辑推理能力，并会加以应用，以达到举重若轻之目的。高等代数中无处不闪耀着经典数学思想方法的光辉，如化归、分类、归纳、类比等，在学习过程中尤其应注意发现、提炼本质并学会灵活应用。

三、高等代数课堂上培养本科生科研思维

在实际教学中谈及高等代数，学生初学后的感触多为即使上课听懂了，课下也不会做题，这也反映出了高等代数知识的高瞻性、抽象性。对于教师而言，高等代数概念纷杂，故在课堂讲授中，教师应呈现给学生一个脉络图，有主干、有枝叶，厘清各个知识点之间的脉络关系、主次关系，及各章节之间的衔接关系，在此过程中引导学生举一反三，教会学生学会用代数思维思考问题，体会高等代数知识的严谨性、抽象性、普适性。基于高等代数课程的特点，结合不同专业高等代数课程的培养方案和教学大纲，教师在授课过程中要注重从以下四个方面培养本科生的科研思维，体会高等代数知识体系的特点：

第一，从特殊到一般的推广思想。高等代数中对于一个或两个代数对象成立的命题，教师在授课过程中，可以引导学生考虑是否可以推广至自然数n 个代数对象情形。例如：两个集合的交可推广至多个集合的交；一元多项式可以推广至多元多项式；二阶行列式推广至n 阶行列式；两个向量空间的直和可以推广至多个向量空间的直和；两个子空间的交可以推广至多个子空间的交等。在课堂上可以引导学生学会推广的思想，在课后可以给学生留思考练习题或以本科毕业论文等方式，潜移默化地向学生灌输推广思想并引导其学会应用。代数上推广的思想是科研入门的起步，很多初入科研之门的课题也是从推广开始的。

第二，从抽象到具体的简化思想。高等代数学习中，学习集合、元素、子集后，对比着学习向量空间、向量、子空间等代数对象，教会学生学习一个代数系统后，学会总结和举一反三，通过已知学习未知。学习一个新的代数对象，通过考虑它包含的对象及子系统进行学习，教师要引导学生从局部去看整体，进而培养学生的总结抽象思维，为进一步深入学习复杂的代数对象做好铺垫。一个向量空间中的无数个向量可以由基确定，尤其对于有限维向量空间，无数多个向量可以由有限个基向量确定，从而体现了从复杂到简单、从无限到有限的思想。进而，从n 维向量空间到Fn，从欧式空间到Rn，也体现了从抽象到具体、从具体再到抽象地考虑问题的思想方法。教师在教授学生学习抽象知识的同时，要引导学生学会考虑问题的思想方法，整体复杂的可以从局部开始考虑；由于抽象的复杂，可以把抽象的对象与具体的对象建立联系，代数上同构的对象可以看做是一样的，从而用具体的对象的性质去反观抽象的代数对象的性质。在科研上，遇到复杂的问题时也需将其转化，将与已知的具体的相联系作为突破口，从而去解决复杂的问题。

第三，从对象发现本质的归纳思想。向量空间是高等代数中的重要概念，其中的向量有无数多个，但是起决定性作用的是基，即通过任何向量可以唯一的由基向量线性表示，故研究基之间的性质即可对整个向量空间中的向量的性质进行把握。体现了通过有限或可数研究无限的思想，从而发现本质的归纳思想。引导学生学习由复杂到简单、由一般到抽象本质的化归思想。依据代数对象的等价关系可以将代数对象进行分类，例如：矩阵的合同关系，矩阵的相似关系，二次型的等价关系，向量空间的同构关系，向量组的等价关系等。利用以上可以把代数对象进行分类，去研究每一类中的代表元素，从而起到把握整体的效果。把复杂无限转化为简单有限、抽其本质的思考方法，是代数学习中至关重要的思想方法。通过以上的学习，教师在授课过程中在传授知识的同时，潜移默化地渗透给学生科学研究的本质，使学生拥有代数思维，使思考问题的角度和方法更立体，从分类角度去归纳复杂的研究对象。

第四，从具体转化为抽象的总结能力。通过解析几何中具体的向量空间V2 与V3，对比学习的向量空间概念。教师在讲授课程的同时，要教会学生具有由一般到抽象的总结能力。高等代数及近世代数是后续代数研究的基石，后续的研究生阶段的李代数及李超代数、顶点算子代数等，都是高等代数课程的延伸，并有着一套自有的代数体系，若从本科生开始就注重学生代数思维的培养，对学生日后的学习必定有大大益处。教师要注重学生的能力培养，使学生把握住代数学习的整体感。学会把零散的、复杂的代数概念系统化，具备这样的能力后，学生在学习过程中就能对知识的脉络有清晰的掌握，也能在消化理解已学知识的同时，对未知知识的学习也有着掌控感。

要想让学生掌握好高等代数，具备科研思维能力，就既要见“树木”又要见“森林”，既要做“战术家”又要做“战略家”。在高等代数教学中，教师要着重培养学生的逻辑推理能力与数学表达能力，严格要求、夯实基础，方能在后继学习乃至科研中闲庭信步，品味数学之美。教师在传授知识的同时，要引导学生全方位了解代数科研动态，激发学生科研兴趣，在本科课堂上，也能使学生接触到本方向研究的核心思想。

四、本科生科研思维培养的发展趋势

凭借多年教学经验的积累，认为应避免从晦涩难懂的基础知识学起，适当调整讲授内容及方法，注重应用性、引导性。目的在于让学生们带着目的以及问题学习，力求使他们对科研产生兴趣，提前进入学术研究状态。教师要围绕高等代数知识体系，合理安排教学内容，激发学生的学习及科研兴趣，并使学生在学习过程中能够更深一步地领会代数学的作用和意义，从而促进对专业知识的学习，培养学生的科研思维能力。教师只要在授课过程中多联系、多归纳总结，对学生进行启发式教学，从以上四个方面引导、培养学生代数思维能力，会逐渐使学生建立初等的科研思维，同时也可以激发学生学习代数的兴趣。

在高等代数课堂上，教师要有针对性地讲解科研形势、科研手段等，然后让学生形成自己的科研思路，使学生感受到科研思维的魅力，因而愿意在科研之海继续快乐地遨游。本科阶段培养学生科研思维的意义，不在于写了多少文章做了多少项目，而是在考虑一个小项目、小课题的过程中，形成的一种认知，这可以帮助学生了解自己，也更了解这个学科，以便给自己定下一个发展目标。

当然，培养本科生的科研思维能力不仅局限于课堂上，还要对传统基础数学方向研究生培养模式、教学模式和培养机制进行改革，对课堂教学、辅助教学进行改革，对培养模式的改革与探索进行梳理和总结。对本硕博教育资源也要进行整合，使资源贯通化，达到精简培养环节、提高课程效率的目的，促进学生自主学习的开展。可以实施时间自由化，一方面可以方便硕博连读生提前进入博士阶段课程学习，另一方面给学生释放更多的时间，让其进行自主学习和科研实践；可以让课程灵活化，打通学科二级方向的课程设置，学生可在导师指导下选修不同方向的课程；可以使培养国际化，让硕博生跨校培养，利用网络共享课程等资源，实施国际化培养。教学与科研相辅相成，把本科生的科研思维培养纳入日常教学体系和培养方案中，鼓励学生参与学校和导师的科研活动，接触学科领域前沿。根据学生学历层次、专业特点不同，探索、提升本科生科研思维能力与科学研究能力，都是十分重要的环节。