例析导数中常见错误及应对策略

易文峰

(浙江诸暨学勉中学 浙江 绍兴 311811)

导数是高中数学新课程中新增加的重点内容之一，是以函数为载体考查函数的重要性质，特别是在求曲线的切线方程，探究函数的单调性与极、最值等问题方面能给解题带来不少便捷。刚好这段时间我们在学习《导数及其应用》章节，在批改作业时发现诸多因理解不周而导致的错误。下面列举出几种常见的错误，通过分析致错原因以及应对策略，希望能对同学们有所帮助。

1.对导数的定义理解不周致误

错解：m

错因分析：对导数定义里“增量”理解不周导致，由“增量”含义可知：(x0-△x)-x0=-△x,

应对策略：其实定义中的“增量”是一个整体思想，自变量的增量从函数值的“增量”中△y=f(x0-3△x)-f(x0)可以知道为-3△x,

练习：已知函数f(x)在点x0处的导数为m,

2.对导数的几何意义理解不周致误

例2、已知曲线f(x)=2x2+3,求过点p(2,9)处的切线方程。

错解：由导数的几何意义可知切线的斜率k=f′(2)=8，所以切线方程为：y-9=8(x-2),化简得切线方程为：8x-y-7=0

错因分析：误以为P点为切点，对导数几何意义理解不周所致。对于这种题型首先要验证已知点是否在曲线上，然后确定该点是否为切点？

应对策略：①先确定点的位置，并确定该点是否是切点？若是，则切线的斜率即为导函数在切点横坐标处的导数值，反之先设切点坐标(x0，y0)，②求k=f′(x0),写出切线方程：y-y0=f′(x0)(x-x0),再把已知点的坐标代入此方程求出x0的值，即可求出切线方程。

练习：求曲线y=x3-x+3过点(1,3)处的切线方程。

3.对复合函数概念理解不周致误

例3、已知曲线f(x)=xe1-x在点(1,1)处的切线平行直线ax+y-1=0,则实数a的值为____。

错解：f′(x)=e1-x+xe1-x, 由导数几何意义知：切线斜率k=f′(1)=2,

故a=-2.

错因分析：对复合函数概念理解不周，其中y=e1-x是复合函数，其导函数是 -e1-x.

正解：由f′(x)=e1-x-xe1-x,故k=f′(1)=0,所以a=0.

练习：已知直线y=kx+b是曲线y=lnx+2和y=ln(x+1)的公切线，求实数b的值。

4.忽视函数定义域致误

错因分析：忽视了函数的单调区间与其定义域之间的被包含与包含的关系，定义域是函数的存在域。求函数单调区间的步骤是：①求定义域，②求导数，并求解f′(x)≥0或f′(x)≤0的解集，同时验证使f′(x)=0的x值是否是有限个，③找出解集与定义域的公共解集，写成区间即为相应的单调区间。

正解：单调递增区间为(0，+∞)。

应对策略：当遇到用导数求单调区间问题时，严格按照求函数单调区间的步骤，特别不能忘记定义域。

A.在R上是单调递增

B.在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增

C.在(-∞,-1)∪(-1,+∞,)上单调递增

D.在R上单调递减

5.对导数与单调性关系理解不周致误

错因分析：f′(x)>0或f′(x)<0是函数f(x)在相应区间上单调递增或单调递减的充分不必要条件；而f′(x)≥0或f′(x)≤0⟺f(x)在相应区间上单调递增或单调递减，但必须满足使得f′(x)=0的x值为有限个。若f′(x)=0恒成立，则函数f(x)为常函数，而常函数无单调性可言。

应对策略：一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(递减)，则等价于不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在区间[a，b]上恒成立，然后可借助分离参数等多种方法求出参数的取值范围。在利用这种方法求解时，还要注意，得到参数取值范围后，要检验端点处的参数值能否使f′(x)恒等于0？若恒等于0，则应舍去这个端点值，若f′(x)不恒等于0，则其符合题意。

练习：1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-1(a>0),若函数f(x)在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围。

2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1没有极值，则实数a的取值范围( )

A.-36 D.a≤-3或a≥6

6.对导数与极、最值关系理解不周致误

例6、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f(2)=( )

A.11或18 B. 11 C. 18 D.17或18

错解：f′(x)=3x2+2ax+b,由f′(1)=0且f(1)=10,即2a+b+3=0且a2+a+b+1=0,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3,代入f(x)即可求得f(2)=11或18，故选A.

错因分析：对于可导函数而言，导数为0的点不一定是极值点，但极值点的导数肯定为0.函数f(x)在x=x0处取到极值的充要条件是：①f′(x0)=0,②在x=x0左右俩侧的导数值的符号相反。显然错解的原因只考虑了满足条件①。

正解：明显当a=-3,b=3时，f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2,易知在x=1的左右导数都有f′(x)>0,即函数f(x)在R上是单调递增的，因此f(x)在x=1处并不存在极值，故a=4,b=-11符合条件，故选C.

应对策略：f′(x0)=0是x0为极值点的必要不充分条件，对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑f′(x0)=0，又要考虑检验是否符合左右导数符号异号的条件。

练习：求函数f(x)=x3-2x2+1在区间[-1，2]上的最大值与最小值。